第五章 三角函数 5.4.2.3 正弦函数、余弦函数的性质--单调性

第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 5.4.2.3 正弦函数、余弦函数的性质—单调性 一、教学目标 1、借助图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值； 2、会求正、余弦函数的周期，掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，； 3、能求出正、余弦函数的单调区间和最大、最小值； 4、正弦函数、余弦函数的性质的应用； 5、逐步培养学生抽象概括的能力. 二、教学重点、难点 重点：正弦、余弦函数的性质. 难点：正弦函数、余弦函数的性质的应用. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）复习回顾，创设情景，揭示课题 【问题】对于正弦函数、余弦函数，目前已经了解多少？ （1）函数形式： （2）定义域：都是 （3）值域：都是 （4）周期性：最小正周期都是 （5）奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数 还有什么性质有待研究？ 正弦函数、余弦函数的单调性 （二）阅读精要，研讨新知，典型示例 【研究方法】首先研究正弦函数的单调性. 由于正弦函数是周期函数，且最小正周期为，于是在正弦曲线上选取一个长度为一个周期的区间进行观察， 如图5.4-8，选取区间研究正弦函数 容易知道，是最低点，是最高点，所以 正弦函数在区间单调递增，在区间单调递减 由正弦函数的周期性，可得 正弦函数在每一个闭区间单调递增，其值从增大到， 在每一个闭区间单调递减，其值从减小到. 【类比研究】如图，选取区间研究余弦函数 余弦函数在区间单调递增，在区间单调递减 由余弦函数的周期性，可得 余弦函数在每一个闭区间单调递增，其值从增大到， 在每一个闭区间单调递减，其值从减小到. 观察研究正弦曲线、余弦曲线可以发现以下重要性质 【两个函数的最值】 正弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值. 余弦函数当且仅当时取得最大值，当且仅当时取得最小值. 【两个函数的对称轴】 正弦函数的对称轴：，余弦函数的对称轴： 【两个函数的对称中心】 正弦函数的对称中心：，余弦函数的对称中心： 【例题研讨】阅读领悟课本例3、例4、例5 （用时约为5-6分钟，教师作出简要精准的评析.） 注意例题的精要简述，可以有与课本不一样的描述. 例3 写出下列函数有的最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时自变量的集合. （1） （2） 解：（1）当时，函数取得最大值2，此时 当时，函数取得最小值0，此时 （2）当时，函数取得最大值3，此时 所以， 当时，函数取得最小值，此时 所以， 例4 改编为多项选择题：（本小题5分，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.） 例4 （多项选择题）下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 解：因为，且在区间上单调递增， 所以，故选B 又，，， 且在区间单调递减，所以，故选C，综上，选BC 例5函数的单调递增区间是__________________. 解：由正弦函数的单调性可知，满足 所以，即 又，所以当时，符合题意 所以函数的单调递增区间是，答案： 【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑并公布答案. （三）探索与发现、思考与感悟 1. 下列函数中，最小正周期为，且图象关于原点对称的函数是　(　　) A. B. C. D. 解：是奇函数，满足题意，且，故选C 2. 函数的单调递增区间是 . 解：由，得， 所以函数的单调递增区间为.答案： 3. （多项选择题）函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 解：因为与函数的增减性相反 由，得， 当时，，当时，，当时，， 又，所以函数的单调减区间为，，， 故选ABD 4. 函数的图象的一条对称轴方程为　( 　　) A. B. C. D. 解：由已知，函数的对称轴方程满足，即， 当时，，故选A. 5. （多项选择题）设函数，则下列结论正确的是(　 　) A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的一个零点为 D. 在上单调递减 解：对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确 对于D，当时，，函数在该区间内不单调，先递减后递增，错误. 故选ABC 6. 函数的值域为(　　) A． B．