4.2.2 等差数列的前n项和公式-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第二册) 第四章：数列 4.2.2　等差数列的前n项和公式 【考点梳理】 考点一　等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 考点二　等差数列前n项和的性质 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列. 也是等差数列，且公差为 2．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 3．若等差数列{an}的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，. ＝ 4．若等差数列{an}的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，. ＝ 考点三　等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 1．公式Sn＝na1＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点． x2＋n.当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝n2＋可化成关于n的表达式：Sn＝ 2．等差数列前n项和的最值 (1)在等差数列{an}中， 当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取得最值的n可由不等式组确定； 当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定． (2)Sn＝n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值． n2＋ 大重难点规律总结： (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝结合使用． (3)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和． ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和． (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用 来寻找． 或 ②运用二次函数求最值． 【题型归纳】 题型一：等差数列前n项和的有关计算 1．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 2．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列{an}中： （1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求n. 3．（2021·全国·高二课时练习）根据下列各题中的条件，求相应等差数列 的前 项和 ： （1） ， ， ； （2） ， ， ． 题型二：等差数列片段和的性质 4．（2021·全国·高二单元测试）设等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ） A．28 B．32 C．16 D．24 5．（2021·河南·高二月考）记等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 6．（2020·湖北·秭归县第一中学高二期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则下列判断错误的是（ ） A．S5，S10-S5，S15-S10必成等差数列 B．S2，S4-S2，S6-S4必成等差数列 C．S5，S10，S15+S10有可能是等差数列 D．S2，S4+S2，S6+S4必成等差数列 题型三：等差数列前n项和与n的比值问题 7．（2020·江苏省包场高级中学高二月考）在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则 （ ） A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040 8．（2021·全国·高二课时练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 （ ） A．0 B．2018 C． D．2020 9．（2020·河北·邢台市南和区第一中学高二月考）已知数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，则数列 的前11项和为 A． B． C． D． 题型四：两个等差数列前n项和的比值问题 10．（2021·河南·高二月考）已知等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且有 ， ，则 的值为（ ） A． B． C．2 D．3 11．（2021·全国·高二课时练习）已知数列 、 都是等差数列，设 的前 项和为 ， 的前 项和为 .若 ，则 （ ） A． B． C． D． 12．（2021·西藏日喀则·高二期末（理））已知等差数列 与等差数