10.1随机事件与概率 -讲义（知识点+考点+练习）-2021-2022学年人教A版（2019）高一数学必修第二册（教师版+学生版）

10.1 随机事件与概率 一、有限样本空间 1. 定义： 样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点 样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示样本空间 有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间 Ω＝{ω1，ω2，…，ωn} 二、随机事件 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生．我们称∅为不可能事件 三、随机事件的含义 解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义． 四、事件的关系 一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B) 相等关系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B 五、事件的运算 并事件(或和事件)：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B) 交事件(或积事件)：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB) 六、互斥事件与对立事件 1．互斥事件 定义 一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 A∩B＝∅ 图形表示 2.对立事件 定义 一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为 含义 A与B有且仅有一个发生 符号表示 A∩B＝∅，A∪B＝Ω 图形表示 辨析互斥事件与对立事件的思路 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生． ②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例． (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件． 七、古典概型的定义 一般地，若试验E具有以下特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 八、古典概型概率的计算 一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝. 九、较复杂的古典概型的概率计算 在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便． 十、列举法解决古典概型问题 解题时要注意是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化． 十、 概率与统计相结合 概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有： 第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)； 第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数； 第三步：找出所求事件包含的样本点个数； 第四步：根据古典概型概率计算公式求解； 第五步：明确规范地表述结论． 十二 概率的综合应用 应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件A包含的样本点个数，最后代入公式求出概率． 十三、概率的基本性质 性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0. 性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0