重点题型训练3-【新教材】2021-2022学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册

人教A版（新教材）高二选择性必修第二册重点题型N3 第四章 数列 考试范围：4.3.1等比数列的概念；4.3.2等比数列的前N项和公式 考试时间：100分钟；命题人：LEOG 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型1、等比数列的判断与证明 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣3n（n∈N+）． （1）求a1，a2，a3的值； （2）设bn＝an+3，证明数列{bn}为等比数列，并求通项公式an． 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．版权所有 【分析】（1）由Sn＝2an﹣3n（n∈N+）．能求出a1，a2，a3的值． （2）由Sn＝2an﹣3×n，求出an+1＝2an+2，从而能证明数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列，由此能求出通项公式an． 【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣3n（n∈N+）． ∴n＝1时，由a1＝S1＝2a1﹣3×1，解得a1＝3， n＝2时，由S2＝2a2﹣3×2，得a2＝9， n＝3时，由S3＝2a3﹣3×3，得a3＝21． （2）∵Sn＝2an﹣3×n，∴Sn+1＝2an+1﹣3×（n+1）， 两式相减，得an+1＝2an+3，* 把bn＝an+3及bn+1＝an+1+3，代入*式， 得bn+1＝2bn，（n∈N*），且b1＝6， ∴数列{bn}是以6为首项，2为公比的等比数列， ∴bn＝6×2n﹣1， ∴． 【点评】本题考查数列中前3项的求法，考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 2．设数列{an}的前n项和为Sn，且首项a1≠3，an+1＝Sn+3n（n∈N*）． （1）求证：{Sn﹣3n}是等比数列； （2）若{an}为递增数列，求a1的取值范围． 【考点】等比数列的性质；数列递推式．版权所有 【分析】（1）由an+1＝Sn+3n（n∈N*），可得数列{Sn﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列； （2）n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，利用{an}为递增数列，即可求a1的取值范围． 【解答】证明：（1）∵an+1＝Sn+3n（n∈N*），∴Sn+1＝2Sn+3n， ∴Sn+1﹣3n+1＝2（Sn﹣3n）∵a1≠3， ∴数列{Sn﹣3n}是公比为2，首项为a1﹣3的等比数列； （2）由（1）得Sn﹣3n＝（a1﹣3）×2n﹣1，∴Sn＝（a1﹣3）×2n﹣1+3n， n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1，∵{an}为递增数列， ∴n≥2时，（a1﹣3）×2n﹣1+2×3n＞（a1﹣3）×2n﹣2+2×3n﹣1， ∴n≥2时，， ∴a1＞﹣9，∵a2＝a1+3＞a1，∴a1的取值范围是a1＞﹣9且a1≠3． 【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 3．已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1＝4an+2（n＝1，2，…），a1＝1． （1）设bn＝an+1﹣2an，求证：数列{bn}是等比数列； （2）设cn＝，求证：数列{cn}是等差数列． 【考点】等差数列的性质；等比数列的性质．版权所有 【分析】（1）根据数列的递推关系求出bn＝an+1﹣2an的通项公式，结合等比数列的定义即可证明数列{bn}是等比数列； （2）求出数列{cn}的通项公式，根据等差数列的定义进行证明即可． 【解答】证明：（1）∵Sn+1＝4an+2，Sn+2＝4an+1+2， 两式相减，得：Sn+2﹣Sn+1＝4（an+1﹣an），即：an+2＝4an+1﹣4an， 变形得：an+2﹣2an+1＝2（an+1﹣2an），∵bn＝an+1﹣2an，即bn+1＝2bn； ∵a1+a2＝4a1+2，即a2＝3a1+2＝5，∴b1＝a2﹣2a1＝3， ∴数列{bn}是以3为首项，以2为公比的等比数列； （2）∵，∴． ∵代入得：， ∴数列{cn}是以为首项，为公差的等差数列． 【点评】本题主要考查等比数列和等差数列的证明，根据等差数列和等比数列的定义是解决本题的关键． 4．已知数列{an}的首项a1＝，an+1＝，n＝1，2，…． （1）求证：数列{﹣1}为等比数列； （2）记Sn＝++…+，若Sn＜100，求最大的正整数n； （3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且am﹣1，as﹣1，an﹣1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【考点】等比数列的性质；数列与不等式的综合；等差数列与等比数列的综合．版权所有 【分析】（1）根据an+1和a