专题16 《图形的相似》中的最值问题-2021-2022学年九年级数学尖子生考点培优专题训练（苏科版，图形的相似）

专题16 《图形的相似》中的最值问题 （满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分 一、单项选择题： 1. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，为线段上一点，过点作，交于点，连接，则面积最大值为 A. B. C. D. 2. 如图，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上，，垂足为，交于点，已知，当矩形面积最大时，的长是 A. B. C. D. 3. 如图，矩形的边在的边上，顶点，分别在边，上，，垂足为，交于点，已知，当矩形面积最大时，的长是 A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，动点从出发，沿方向运动，当点到达点时停止运动，过点做，交于点，设点运动路程为，，如图所表示的是与的函数关系的大致图象，当点在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是    A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的点，点，点，则对角线的最小值是 A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形边长为，点在边上且，点，分别是边，的动点均不与顶点重合，当四边形的周长取最小值时，四边形的面积是 A. B. C. D. 7. 正方形的边长是，为上的动点，连接，作，交于，连接，则的最小值是 A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点、在坐标轴上，点的坐标为，为边的中点，点，为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，则点的坐标应为 A. B. C. D. 二、填空题 9. 如图，在中，，边上的高为，在的内部作一个矩形，使在边上，另外两个顶点分别在、边上，则对角线长的最小值为          ． 10. 如图，在▱中，，，，点为边上的一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造▱，连接，则的最小值为______． 11. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的与轴的正半轴交于点，点是上一动点，点为弦的中点，直线与轴、轴分别交于点、，则面积的最小值为______． 12. 如图，在中，，，为边上一动点点除外，以为一边作正方形，连接，则面积的最大值为______． 13. 如图，在中，，，点，分别在边，上，且，，连接，，相交于点，则面积最大值为______． 14. 如图，为的直径，是的切线，点在上，且，若，，则的最大值为__________ ． 三、解答题 15. 如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、． 求证：； 如图，若，求的值； 当四边形的周长取最大值时，求的值． 16. 已知四边形是边长为的正方形，点是射线上的动点，以为直角边在直线的上方作等腰直角三角形，，设． 如图，若点在线段上运动，交于点，交于点，连结， 当时，求线段的长； 在中，设边上的高为，请用含的代数式表示，并求的最大值； 设过的中点且垂直于的直线被等腰直角三角形截得的线段长为，请直接写出与的关系式． 17. 如图，已知，是的平分线，是射线上一点，动点从点出发，以的速度沿水平向左作匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上作匀速运动．连接，交于点经过、、三点作圆，交于点，连接、设运动时间为，其中． 求的值； 是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 求四边形的面积． 18. 【阅读】 通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用． 【理解】 如图，，，垂足分别为、，是的中点，连接已知，． 分别求线段、的长用含、的代数式表示； 比较大小： ______ 填“”、“”或“”，并用含、的代数式表示该大小关系． 【应用】 如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，横坐标分别为、设，，记． 当，时， ______ ；当，时， ______ ； 通过归纳猜想，可得的最小值是______ 请利用图构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 19. 如图，抛物线和直线交于，两点，点在轴上，点在直线上，直线与轴交于点 求抛物线的解析式； 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒以为边作矩形，使点在直线上． 当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； 直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 20. 问题背景 如图，是的直径，点在上，，为上一动点不与，重合，求证：． 请你根据图中所给的辅助线，给出作法并完成证明过程． 类比迁移 如图，的半径为，点，在上，为内一点，，，垂足为，求的最小值． 拓展延伸