4.2.2.2等差数列前n项和公式的应用（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

课时作业(六)　等差数列前n项和公式的应用 [练基础] 1．已知等差数列{an}中，d＝2，S3＝－24，则前n项和Sn取最小值时n等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．5或6 解析：由d＝2，S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10，令an＝－10＋(n－1)×2≤0，得n≤6，所以S5＝S6均为最小值，故选D. 答案：D 2．已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　) A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 解析：由S13<0，S12>0，知 ＝＝13a7<0， ＝＝6(a6＋a7)>0， 所以a7<0，a6＋a7>0.则a6>0.且a6>|a7|，故选C. 答案：C 3．现在200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(　　) A．9 B．10 C．19 D．29 解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个． ∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝. 当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200. ∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．故选B. 答案：B 4．(多选题)已知Sn是等差数列的前n项和，且S6>S7>S5，则下列命题中正确的是(　　) A．d<0 B．S11>0 C．S12<0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析：∵S6>S7，∴a7<0，∵S7>S5，∴a6＋a7>0，∴a6>0，∴d<0，A正确；又S11＝(a1＋a11)＝11a6>0，B正确；S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)>0，C不正确；{Sn}中最大项为S6，D不正确．故选AB. 答案：AB 5．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d>0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________． 解析：由|a5|＝|a9|且d>0得a5<0，a9>0且a5＋a9＝0 ∴2a1＋12d＝0，即a1＋6d＝0， ∴a7＝0，故S6＝S7且最小． 答案：6或7 6．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S2＝8，S3＝9. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最大值． 解析：(1)由等差数列{an}的前n项和S3＝9，得a2＝3， 又∵S2＝8，即a1＋a2＝8，∴a1＝5， ∴d＝a2－a1＝－2. ∴an＝5－2(n－1)＝7－2n. (2)由(1)知an＝7－2n，a1＝5，d＝－2， 故Sn＝＝＝n(6－n)＝6n－n2. ∴当n＝3时，Sn取得最大值9. [提能力] 7．(多选题)设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1>0且S6＝S9，则(　　) A．d>0 B．a8＝0 C．S7或S8为Sn的最大值 D．S5>S6 解析：因为Sn＝na1＋d， 所以Sn＝n2＋n， 则Sn是关于n(n∈N，n≠0)的一个二次函数， 又a1>0且S6＝S9， 对称轴n＝＝，开口向下，则d<0，故A错误， 又n为整数， 所以Sn在[1,7]上单调递增，在[8，＋∞)上单调递减， 所以S5<S6，故D错误， 所以最靠近的整数n＝7或n＝8时，Sn最大，故C正确， 所以S7＝S8，∴a8＝0，故B正确，故选BC. 答案：BC 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围是________． 解析：由当且仅当n＝8时，Sn有最大值， 可得即 解得－1<d<－. 答案： 9．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an＋1)2，且an>0. (1)求a1，a2； (2)求{an}的通项公式； (3)令bn＝20－an，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值． 解析：(1)∵S1＝(a1＋1)2＝a1，∴a1＝1. ∵S2＝(a2＋1)2＝a1＋a2，∴a2＝3(a2＝－1舍去)． (2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝[(an＋1)2－(an－1＋1)2]＝(a－a)＋(an－an－1)， 由此得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0. ∵an＋an－1≠0，∴an－an－1＝2. ∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列， ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. (3)∵bn＝20－an＝21－2n，∴bn－bn－1＝－2，b1＝19. ∴{bn}是以19为首项，－2为公差的等差数列． ∴Tn＝19n＋×(－2)＝－n2＋20n. 故当n＝10时，Tn取最大值，最大值为100. [战疑难] 10．设f(x)＝，则f(－5)＋f(－4)＋…＋