4.1.2数列的递推公式同步（备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

课时作业(二)　数列的递推公式 [基础检测] 1．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(　　) A．an＝an－1＋2(n≥2) B．an＝2an－1(n≥2) C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2) D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2) 解析：A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不符合，故选C. 答案：C 2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则a8的值为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得a8＝S8－S7＝82＋1－72－1＝(8＋7)(8－7)＝15.故选A. 答案：A 3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，则数列{an}的一个通项公式是(　　) A．an＝n B．an＝n＋1 C．an＝2n D．an＝2n－1 解析：由题a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝15，经验证，选D. 答案：D 4．如图所示的是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两点之间的“短线”表示化学键，按图中结构，第n个图有化学键(　　) A．6n个 B．(4n＋2)个 C． (5n－1)个 D．(5n＋1)个 解析：由题中图形知，各图中“短线”个数依次为6,6＋5,6＋5＋5，…，若把6看作1＋5，则上述数列为1＋5,1＋2×5,1＋3×5，…，于是第n个图形有(5n＋1)个化学键．故选D. 答案：D 5． 设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝3n－1，则an＝________. 解析：由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得 an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝3n－3n－1＝3n－1·2(n≥2)． 当n＝1时，a1＝S1＝2，满足上式，故an＝2·3n－1. 答案：2·3n－1 6．在数列{an}中，a1＝2，a9＝66，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)2020是否为数列{an}中的项？ 解析：(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则 解得 ∴an＝8n－6. (2)由8n－6＝2 020得n＝∉N* 故2 020不是数列{an}中的项． [能力提升] 7．数列{an}中，a1＝7，a9＝8，且(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)，则a2等于________． 解析：由(n－1)an＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥3)， 得nan＋1＝a1＋a2＋…＋an， 两式相减，得 nan＋1－(n－1)an＝an. ∴n≥3时，nan＋1＝nan，即 an＋1＝an. 又a9＝8，∴a3＝8. 又2a3＝a1＋a2，a1＝7，∴a2＝2a3－a1＝9. 答案：9 8．雪花曲线是一种模样古怪的曲线，但它是真实存在的．这条曲线可以从一个等边三角形开始来画．你可以想象，有一位可爱的小天使正在画雪花曲线．她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相同的三份，再在中间的那个三分之一上向外画出一个粉红色的等边三角形，这样一来就做成了一个六角星，六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形，…，以此类推． 设第n个雪花曲线的边数为an，则a3＝________，an＋1与an的关系是________． 解析：a1＝3，a2＝3×4＝12， a3＝3×42＝48，…， an＋1＝4an. 答案：48　an＋1＝4an 9．已知数列{an}中，a1＝1，Sn表示{an}的前n项和，且Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解析：(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3. 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理得an＝an－1. 于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，an＝an－1. 将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝. 综上可知，{an}的通项公式an＝. [挑战疑难] 10．(多选题)若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n>3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是(　　) A．Tn无最大值 B．an有最大值 C．T2 019＝4 D．a2 019＝2 解析：∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1(n>3) ∴a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，… 因此数列{an}是周期为6的周期数列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 019＝a3＝2， 又因为T1＝1，T2＝2，T3＝4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…， 所以{Tn}是周期为6的周期数列，Tn＋6＝T