第三章 3.3 抛物线（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） 直线与双曲线有且仅有一个公共点. ③ 4 - 3k2 < 0, 1 - k2≠0,{ 即 k < - 2 3 3 ,或 k > 2 3 3 时,方程(∗)无实数解,即 直线与双曲线无公共点. 综上所述,当 -2 33 < k < -1,或 -1 < k < 1,或 1 < k < 2 3 3 时,直线与 双曲线有两个公共点;当 k = ±1,或 k = ±2 33 时,直线与双曲线有且只有 一个公共点;当 k < -2 33 ,或 k > 2 3 3 时,直线与双曲线没有公共点. 　 　 对点训练 2:C　 设 A(x1,y1),B(x2,y2),当直线 l 的斜率不存在时, 其方程为 x = 3,由 x = 3, x2 - y 2 2 = 1, { 得 y = ± 2, ∴ |AB | = | y1 - y2 | = 4 满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,其方程为 y = k(x - 3),由 y = k(x - 3) . x2 - y 2 2 = 1, { 得(2 - k2)x2 + 2 3k2 x - 3k2 - 2 = 0. 当 2 - k2≠0 时,x1 + x2 = 2 3k2 k2 - 2 ,x1 x2 = 3k2 + 2 k2 - 2 , |AB | = 1 + k2 (x1 + x2) 2 - 4x1 x2 = 1 + k2 2 3k 2 k2 - 2( ) 2 - 12k 2 + 8 k2 - 2 = 1 + k2 16(k 2 + 1) (k2 - 2) 2 = 4(1 + k 2) | k2 - 2 | = 4, 解得 k = ± 22 ,故这样的直线有 3 条. 　 　 典例 3:因为双曲线的方程可化为 x2 - y 2 3 = 1,所以 a = 1,b = 3,c = 2,又直线 l 过点 F2(2,0),且斜率 k = tan 45° = 1, 所以 l 的方程为 y = x - 2,由 y = x - 2, 3x2 - y2 = 3,{ 消去 y 并整理得 2x2 + 4x - 7 = 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 因为 x1 x2 = - 7 2 < 0, 所以 A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上. 因为 x1 + x2 = - 2,x1 x2 = - 7 2 , 所以 |AB | = 1 + 12 | x1 - x2 | = 2· (x1 + x2) 2 - 4x1 x2 = 2· ( -2) 2 - 4 × - 72( )= 6. 　 　 对点训练 3:由 y = ax + 1, 3x2 - y2 = 1,{ 得(3 - a 2)x2 - 2ax - 2 = 0, 由题意可得 3 - a2≠0,且 Δ > 0,即 a2 < 6 且 a2≠3, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 + x2 = 2a 3 - a2 ,x1 x2 = - 2 3 - a2 . |AB | = (x1 - x2) 2 + (y1 - y2) 2 = (1 + a2)[(x1 + x2) 2 - 4x1 x2] = (1 + a2)[( 2a 3 - a2 ) 2 + 8 3 - a2 ] = 2 (1 + a 2)(6 - a2) |3 - a2 | . 　 　 典例 4:解法一:设被 B(1,1)所平分的弦所在的直线方程为 y = k(x - 1) + 1,代入双曲线方程 x2 - y 2 2 = 1,得( k 2 - 2) x2 - 2k( k - 1) x + k2 - 2k + 3 = 0. ∴ Δ = [ - 2k(k - 1)] 2 - 4(k2 - 2)(k2 - 2k + 3) > 0. 解得 k < 32 ,且 x1 + x2 = 2k(k - 1) k2 - 2 . ∵ B(1,1)是弦的中点,∴ k(k - 1) k2 - 2 = 1,∴ k = 2 > 32 . 故不存在被点 B(1,1)所平分的弦. 解法二:设存在被点 B 平分的弦 MN,设 M(x1,y1)、N(x2,y2) . 则 x1 + x2 = 2,y1 + y2 = 2,且 x21 - y21 2 = 1,　 　 　 ① x22 - y22 2 = 1. 　 　 　 ② ì î í ïï ï ①-②得(x1 + x2)(x1 - x2) - 1 2 (y1 + y2)(y1 - y2) =0. ∴ kMN = y1 - y2 x1 - x2 = 2,故直线 MN:y - 1 = 2(x - 1) . 由 y - 1 = 2(x - 1) x2 - y 2 2 = 1 { ,消去 y 得,2x2 - 4x + 3 = 0, Δ = - 8 < 0