第三章 3.1 椭圆（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

新教材·高中新课程学习指导 由题意得 |12 - 8λ + 3λ - 8 | (2 + λ) 2 + (3 - 2λ) 2 = 2,化简得 5λ2 - 8λ - 36 = 0,解得 λ = - 2或185 ,代入得直线 l 的方程为 y = 2 或 4x - 3y + 2 = 0. 故选 C. 　 　 典例 3:(1)证明:直线的方程可化为 y + 3 = 2m(x - 4), 由点斜式可知,直线恒过点 P(4, - 3) . 由于 42 + ( - 3) 2 - 6 × 4 + 12 × ( - 3) + 20 = - 15 < 0, 所以点 P 在圆内,故直线 l 与圆 C 总相交. (2)解:圆的方程可化为( x - 3) 2 + ( y + 6) 2 = 25. 如图,当圆心 C(3, - 6)到直线 l 的距离最大时, 线段 AB 的长度最短. 此时 PC⊥l, 又 kPC = - 3 - ( - 6) 4 - 3 = 3,所以直线 l 的斜率为 - 13 ,则 2m = - 1 3 ,所以 m = - 1 6 . 在 Rt△APC 中, |PC | = 10, |AC | = r = 5. 所以 |AB | = 2 |AC | 2 - |PC | 2 = 2 15 . 故当m = - 16 时,l 被 C 截得的弦长最短,最短弦长为2 15. 　 　 对点训练 3:(1)由题意知,直线 x + y + 2 = 0 过圆 C 的圆心,设圆心 C(a, - a - 2) . 由题意,得(a + 2) 2 + ( - a - 2 - 2) 2 = a2 + ( - a - 2) 2, 解得 a = - 2. 因为圆心 C( - 2,0),半径 r = 2, 所以圆 C 的方程为(x + 2) 2 + y2 = 4. (2)由题意知,直线 l1,l2 的斜率存在且不为 0, 设 l1 的斜率为 k,则 l2 的斜率为 - 1 k , 所以 l1:y = k(x + 1),即 kx - y + k = 0,l2:y = - 1 k (x + 1),即 x + ky + 1 = 0. 由题意,得圆心 C 到直线 l1,l2 的距离相等, 所以 | - 2k + k | k2 + 1 = | - 2 + 1 | k2 + 1 ,解得 k = ± 1, 所以直线 l1 的方程为 x - y + 1 = 0 或 x + y + 1 = 0. 　 　 典例 4:(1)把圆 C1 与圆 C2 都化为标准方程形式,得( x + 2) 2 + (y - 2) 2 = 13,(x - 4) 2 + (y + 2) 2 = 13. 圆心与半径长分别为 C1( - 2,2),r1 = 13;C2(4, - 2),r2 = 13 . 因为 |C1C2 | = ( - 2 - 4) 2 + (2 + 2) 2 = 2 13 = r1 + r2, 所以圆 C1 与圆 C2 相切. 由 x2 + y2 + 4x - 4y - 5 = 0, x2 + y2 - 8x + 4y + 7 = 0,{ 得 12x - 8y - 12 = 0, 即 3x - 2y - 3 = 0,就是过切点的两圆公切线的方程. (2)由圆系方程,可设所求圆的方程为 x2 + y2 + 4x - 4y - 5 + λ(3x - 2y - 3) = 0. 点(2,3)在此圆上,将点坐标代入方程解得 λ = 43 . 所以所求圆的方程为 x2 + y2 + 4x - 4y - 5 + 43 (3x - 2y - 3) = 0,即 x2 + y2 + 8x - 203 y - 9 = 0. 　 　 对点训练 4:(1)x + y - 3 = 0　 AB 的中垂线即为圆 C1、圆 C2 的连心线 C1C2 .又 C1(3,0),C2(0,3),所以 C1C2 所在直线的方程为 x + y -3 =0. (2)①证明:圆 C1 的方程可化为(x - 2) 2 + (y + 1) 2 = 5,圆 C2 的方 程可化为 x2 + (y - 1) 2 = 5, ∴ C1(2, - 1),C2(0,1),两圆的半径均为 5, ∵ |C1C2 | = (2 - 0) 2 + ( - 1 - 1) 2 = 2 2∈(0,2 5), ∴ 两圆相交. ②解:将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程, (x2 + y2 - 4x + 2y) - (x2 + y2 - 2y - 4) = 0,即 x - y - 1 = 0. 　 　 典例 5:如图,由已知得 l1:a(x - 2) - 2(y - 2) = 0,l2:2(x - 2) + a2(y - 2) = 0. ∴ l1,l2 都过定点(2,2