专题4.5 函数的模型应用-《聚能闯关》2021-2022学年高一数学提优闯关训练（人教A版2019必修第一册）

专题4.5 函数的模型应用 闯关技巧 一、指数型函数模型 例1　目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005) (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 解　(1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2； 当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…. 故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)． (2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人． (3)设x年后该县的人口总数为120万， 即100×(1＋1.2%)x＝120， 解得x＝log1.012≈16. 故大约16年后该县的人口总数将达到120万． 反思感悟　在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 跟踪训练1　一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．(已知：lg 0.5≈0.301 0， lg 0.9≈0.045 8) (1)求t年后，这种射放性元素的质量ω的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)． 解　(1)最初的质量为500 g. 经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.9； 经过2年，ω＝500×0.92； 所以t年后，ω＝500×0.9t. (2)由题意得500×0.9t＝250，即 0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得 lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5， 所以t＝≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年． 二、对数型函数模型 例2　我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量． (1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 解　(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5log2，解得O＝10个单位． (2)将耗氧量O＝80代入题中公式，得v＝5log2＝5log28＝15(m/s)． 反思感悟　有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义． 跟踪训练2　“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477) 答案　36.72 解析　当N＝40时，t＝－144lg＝－144lg ＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72. 三、建立拟合函数模型解决实际问题 例3　某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下： 上市时间x天 4 10 36 市场价y元 90 51 90 (1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格． 解　(1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝alogbx显然都是单调函数，不满足题意， ∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系． (2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中， 得解得 ∴y＝x2－10x＋126＝(x－20)2＋26. ∴当x＝20时，y有最小值26. 故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元． 反思感悟　建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模