4.4函数的应用（二）（题型归纳+课后作业） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 函数的应用（二） 题型归纳 题型一.指数函数模型 1．生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”． （1）根据这个规律，写出生物体内碳14的含量p与死亡年数t之间的函数关系式． （2）湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆汉墓的年代．（精确到个位；辅助数据：log20.767≈﹣0.3827） 【解答】解：（1）∵每经过5730年衰减为原来的一半， ∴生物体内碳14的含量p与死亡年数t之间的函数关系式为； （2）由题意，， ∴log20.767， ∴t≈2193（年） 2．习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为：（e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量）．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的． （1）求函数P（t）的关系式； （2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：lg2≈0.3） 【解答】解：（1）根据题设，得， ∴，……………………（2分） 所以函数；……………………（6分） （2）由， 得， 两边取以10为底的对数，并整理，得t（1﹣3lg2）≥3， 解得t≥30； ……………………（11分） 因此，至少还需过滤30小时． ……………………（12分） 题型二.对数函数模型 1．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上2000m，游回产地产卵．研究表明，鲑鱼的游速可表示为函数v，单位是m/s，其中P表示鱼的耗氧量的单位数． （Ⅰ）当一条鲑鱼的耗氧量是2700个单位时，它的游速是多少？ （Ⅱ）若甲鲑鱼的游速v1是乙鲑鱼游速v2的倍，求甲鲑鱼耗氧量的单位数P1与乙鲑鱼耗氧量的单位数P2之间的关系式． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，P＝2700， ， 答：鲑鱼的游速是1.5m/s． （Ⅱ）依题意，， 即， ，， ，即P1与P2之间的关系式是． 2．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I（单位：W/m2）表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L1（单位：分贝）表示，它们满足公式：L1＝10•lg（L1≥0，其中I0＝1×10﹣12W/m2），I0是人们能听到的最小强度，是听觉的开始．请回答以下问题： （Ⅰ）树叶沙沙声的强度为1×10﹣12W/m2），耳语的强度为1×10﹣10W/m2），无线电广播的强度为1×10﹣8W/m2），试分别求出它们的强度水平； （Ⅱ）某小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下（不含50分贝），试求声音强度I的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）由L1＝10•lg得树叶沙沙声的强度为L1＝10•lg0（分贝），…（3分） 耳语的强度为L1＝10•lg20（分贝 ），…（6分） 无线电广播的强度为L1＝10•lg40（分贝）． …（9分） （Ⅱ）由题意得：0≤10•lg50，即0≤lgI﹣lg（1×10﹣12）＜50． …（10分） ∴﹣12≤lgI＜﹣7，∴10﹣12≤I＜10﹣7． …（12分） ∴声音强度I范围是大于或等于10﹣12W/m2，同时应小于10﹣7W/m2．…（13分） 题型三.幂函数模型 1．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的A，B两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为y＝kxα（x＞0）（k与α都为常数），其图象如图所示． （1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）函数关系式； （2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f（x）表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润＝A芯片毛收入+B芯片毛收入﹣研发耗费资金） 【解答】解：（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为y＝k1x， 且x＝1时，y，代入解得k1，则生产A芯片的毛收入yx； 将（1，1），（4，2）代入y＝kxa，得，解得， 所以，生产B芯片的毛收入为y． （2）公司投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，则投入（40﹣x）千万元资金生产A芯片， 公司所获利润f（x）2（2）2+9，