15.3 分式方程-【初中必刷题&教材划重点】2021-2022学年八年级上册数学同步名师教案（人教版）

分式方程及其解法 (教参P246) 1．了解分式方程的概念．(重点) 2．掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法，体会解分式方程过程中的化归思想．(重点) 1．含有未知数的等式叫方程． 2．解一元一次方程的一般步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1. (教学内容选自《教材划重点》) 预习反馈　 阅读教材P149～151，完成预习内容． 1．填空： (1)分母中不含有未知数的方程叫做整式方程． (2)分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．判断下列说法是否正确： ①＝5是分式方程；②＝是分式方程； ③＝1是分式方程；④＝是分式方程． 【解】①不是分式方程，因为分母中不含有未知数．②是分式方程，因为分母中含有未知数．③是分式方程，因为分母中含有未知数．④是分式方程，因为分母中含有未知数． 3．解分式方程的一般步骤：(1)去分母；(2)解整式方程；(3)验根；(4)小结． 思考 将方程＝化成整式方程的关键步骤是什么？ (教材P149) (教参P275)去分母． 【例1】(教材P151例2)解方程：－1＝. 【解】方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得x＝1. 检验：当x＝1时，(x－1)(x＋2)＝0， 因此x＝1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解． 【变式练1】解分式方程． (1)＋2＝； (2)＋＝. 【解】(1)方程两边同乘x－3得1＋2(x－3)＝x－4， 解得x＝1，检验：当x＝1时，x－3＝1－3＝－2≠0， ∴x＝1是原分式方程的解． (2)方程两边同乘x2－4得4＋3(x＋2)＝－(x－2)， 解得x＝－2，检验：当x＝－2时，x2－4＝(－2)2－4＝0， ∴x＝－2是原分式方程的增根，∴原方程无解． 【例2】若关于x的方程＋＝有增根，则增根是多少？求方程产生增根时m的值． 【解】∵原方程有增根， ∴这个增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0. ∴增根为x＝3或x＝－3， 把原方程两边同乘(x＋3)(x－3)， 得m＋2(x－3)＝x＋3， 当增根为x＝3时，m＋2×(3－3)＝3＋3，此时m＝6. 当增根为x＝－3时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，此时m＝12. 【方法总结】分式方程的增根 (1)增根：化为整式方程后产生的不适合分式方程的根． (2)增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式练2】已知点A，B在数轴上所对应的数分别为，，若A，B两点关于原点对称． (1)当m＝3时，求x的值； (2)若不存在满足条件的x，求m的值． 【解析】根据题意得＋＝0， (1)把m＝3代入得＋＝0， 去分母得3＋2x－7＝0，解得x＝2， 经检验x＝2是分式方程的解． (2)去分母得m＋2x－7＝0， 由不存在满足条件x的值，得到x＝3， 把x＝3代入得m＋6－7＝0，解得m＝1. 1．下列关于x的方程中，是分式方程的是(　D　) A.－3＝ B.－－ C.＝3－x(a为参数) D.＝1 2．下列等式是四位同学解方程－1＝过程中去分母的一步，其中正确的是(　D　) A．x－1＝2x B．x－1＝－2x C．x－x－1＝－2x D．x－x＋1＝－2x 3．小颖在解分式方程＝＋2时，△处被污染看不清，但正确答案是此方程无解．请你帮小颖猜测一下△处的数应是1. 4．已知关于x的方程：＝－2. (1)当m为何值时，方程无解． (2)当m为何值时，方程的解为负数． 【解】(1)由原方程，得2x＝mx－2x－6， ①整理，得(4－m)x＝－6， 当4－m＝0即m＝4时，原方程无解． ②当分母x＋3＝0即x＝－3时，原方程无解， 故2×(－3)＝－3m－2×(－3)－6，解得m＝2， 综上所述，m＝2或4时，方程无解． (2)由(1)得到(4－m)x＝－6，当m≠4时．x＝＜0，解得m＜4，综上所述，m＜4且m≠2时，方程的解为负数． 见《初中必刷题》P97刷基础，P98刷提升 可取之处：这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归纳出分式方程的基本解题步骤．理解了分式方程的意义，掌握了分式方程的基本思路和解法；理解分式方程可能无解的原因，并掌握了解分式方程的验根的方法． 不足之处：①判断整式方程和分式方程的方法就是看分母中是否含有未知数，但是仍有同学对分母中的π有错误认识．②解分式方程的过程中，分子是多项式的运算过程中忘记带上括号；③不能利用方程无解进行逆向运算并求值． 分式方程的实际应用 (教参P246) 1．结合利用分式方程解决实际问题的实例，进一步体会方程是刻画实际问题数量关系的一种重要数学模型．(难点) 1．分母中含有未知数的方