重点过关训练01 二次函数的综合问题-2021-2022学年九年级数学下册课后培优练（北师大版）

重点过关训练 二次函数的综合问题 1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求PM的长； （3）当时，求点P的坐标． 【答案】（1）；（2）或；（3）或或 【分析】 （1）先求出点B，点C坐标，利用待定系数法可求解析式； （2）由全等三角形的性质可得PO＝PC，，可得点P在CO的垂直平分线上，即可求解； （3）分两种情况讨论，利用面积关系列出方程即可求解． 【详解】 解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴，， ∵点B，点C，点A在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）连接OM， ∵M为BC中点， ∴， ∵， ∴，， ∴MP是OC的垂直平分线， ∴轴， ∴点P的纵坐标为1， 当时，代入， 解得：， ∴或， ∴或； （3）∵，， ∴， ∵，， ∴直线BC解析式为， 当点P在BC上方时，如图2，过点P作轴，交BC于点E， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∴点； 当点P在BC下方时，如图3，过点P作轴，交BC于点E， ∴， ∴， ∴， ∴点或； 综上，点P的坐标为：或或． 【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，全等三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．如图，二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）. （1）求a值和图象的顶点坐标 （2）若点Q（m，m）在该二次函数图象上.①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围. 【答案】（1）a=2，顶点坐标为（-1，2）；（2）①11；②2≤n＜11； 【分析】 （1）把P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，再进行配方即可求解； （2）①令x=2，求函数的值即为n值；②由|m|＜2，即可求n的范围； 【详解】 解：（1）把P（-2，3）代入y=x2+ax+3中， ∴a=2， ∴y=x2+2x+3=（x+1）2+2 ∴图象的顶点坐标为（-1，2）； （2）①∵Q（m，n）在该二次函数图象上， 当m=2时，n=22+2×2+3=11； ②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴-2＜m＜2， ∴2≤n＜11； 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键． 3．已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）． （1）求二次函数的顶点坐标； （2）设该二次函数图象上两点A（a，ya）、B（a+2，yb），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h． ①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值； ②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是 　 　． 【答案】（1）（﹣2，4）；（2）①h＝1；②0＜m≤4 【分析】 （1）利用配方法求出顶点坐标即可． （2）①根据A，B关于抛物线的对称轴对称，求出a的值，在求出﹣3≤x≤﹣1时，二次函数的最大值，最小值，可得结论． ②分四种情形：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，当﹣4＜a≤﹣3时，当﹣3＜a≤﹣2时，当a＞﹣2时，分别求出满足条件的m的取值范围，可得结论． 【详解】 解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4 ＝﹣m（x2+4x+4）+4 ＝﹣m（x+2）2+4， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）． （2）①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2， ∴a＝﹣3， 当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x， 则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3， 当x＝﹣2时，y最大值＝4， ∴h＝1． ②结论：0＜m≤4，理由如下： 当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时， h＝yb﹣ya ＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4] ＝﹣4m（a+3）， ∵h＝4， ∴4＝﹣4m（a+3）， ∴a＝﹣﹣3≤﹣4， ∵m＞0， 解得m≤1， 当﹣4＜a≤﹣3时， h＝4﹣ya ＝4﹣[﹣m（a+2）2+4] ＝m（a+2）2， ∴可得a＝﹣﹣2， ∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3， 解得1＜m≤4， 当﹣3＜a≤﹣2时， h＝4﹣yb ＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4] ＝m（a+4）2， 可得a＝﹣4， ∴﹣3＜﹣4≤﹣4， 不等式无解． 当a＞﹣2时， h＝ya﹣yb ＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4] ＝4m（a+3）， 可得a＝﹣3， ∴﹣3＞﹣2， ∴m＜1， 综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4． 故答案为：0＜m≤4． 【点睛】 本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题，学会用