专训2.2.3 y=ax²+bx+c的图象和性质-2021-2022学年九年级数学下册课后培优练（北师大版）

专训 2.2.3 y=ax²+bx+c的图象和性质 一、单选题 1．已知抛物线y＝ax2﹣4ax＋3（a＜0）经过点（m，y1），（m＋1，y2），若y1＞y2，则m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m＞2 D．m＜1 【答案】A 【分析】 先求出抛物线的对称轴方程，再根据二次函数的性质，当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的右侧时m≥2；当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的左右两侧时2-m＜m+1-2，然后分别解两个不等式即可得到m的范围． 【详解】 解：抛物线的对称轴为直线x==2， ∵m＜m+1，y1>y2，a<0， ∴当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的右侧时，有m≥2； 当点（m，y1）和（m+1，y2）在直线x=2的左右两侧时，有2-m＜m+1-2， 解得m＞； 综上所述，m的范围为m＞． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 2．已知二次函数，当时，，当时，，则当时，y的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由当x=1时，-4≤y≤-2，当x=2时，-1≤y≤2，将y=ax2+c代入得到关于a、c的两个不等式组，再设x=3时y=9a+c=m(a+c)+n(4a+c)，求出m、n的值，代入计算即可． 【详解】 解：由x=1时，-4≤y≤-2得，-4≤a+c≤-2…①， 由x=2时，-1≤y≤2得，-1≤4a+c≤2…②， 当x=3时，y=9a+c=m(a+c)+n(4a+c)， 得 ，解得， 故 ，， ∴， 故选：A． 【点睛】 本题考查了二元一次方程组的应用，以及二次函数性质的运用，熟练解不等式组是解答本题的关键． 3．如图，已如抛物线开口向上，与轴的一个交点为，对称轴为直线．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题． 【详解】 解：】解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴a＞0，b＜0；由图象知c＜0， ∴abc＞0，故A不符合题意； ∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是（-1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点是（3，0）； ∴即故B不符合题意； 当x=2时，，即，故C符合题意； ∵抛物线对称轴为直线 ∴，即，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】 该题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活运用有关知识来分析是解题关键． 4．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示．则下列结论：①点，，是该抛物线上的点，则﹔②；③；④；⑤（t为实数），其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．②③⑤ D．③④⑤ 【答案】B 【分析】 根据抛物线的开口向下且对称轴为直线知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断①，根据抛物线的对称轴可判断②，由抛物线与轴的交点及抛物线的对称性可判断③，由时可判断④，由时函数取得最大值可判断⑤． 【详解】 解：抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线， ，故②正确； 与轴的一个交点在和之间， 由抛物线的对称性知，另一个交点在和之间， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴，即，故③正确； 由③知，时，且， 即，故④正确； 由函数图象知当时，函数取得最大值， ， 即为实数），故⑤错误； 故选：B． 【点睛】 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左； 当与异号时（即，对称轴在轴右．常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点． 5．在平面直角坐标系中，设二次函数，已知点 P(p，m)和 Q(1， n)在二次函数的图象上，若 m＜n，则 p 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数解析式可知函数的对称轴为：，则点在二次函数对称轴的右侧，再求出点的对称点的横坐标，根据m＜n，结合图像即可确定p 的取值范围． 【详解】 设二次函数与轴的交点分别为， 则为二次函数与坐标轴的交点坐标 ∴函数的对称轴为： 设关于对称的点为 在二次函数的图象上， m＜n ． 故选C． 【点睛】 本题考查了二次函数图像的性质，求出点的对称点的横坐标，数形结合是解题的关键