2.2.4 第2课时 均值不等式与最大值、最小值（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

第2课时　均值不等式与最大值、最小值 内　容　标　准 学　科　素　养 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用． 逻辑推理、数学运算、数学建模 2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题． 3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题. [教材提炼] 知识点　用均值不等式求最值 用均值不等式求最值应注意： ≥ (1)x，y是不是正数； (2)若x，y是正数， ①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； ②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. (3)等号成立的条件是否满足． [自主检测] 1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是(　　) A.　　 B．1　　　C．2　　　D．4 答案：C 2．已知－1≤x≤1，则1－x2的最大值为________． 答案：1 3．当x＞1时，x＋的最小值为________． 答案：3 探究一　用均值不等式求最值 [例1]　(1)若x＞0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； [解析]　∵x＞0. ∴x＋＝4 ≥2 当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号． ∴函数y＝x＋(x＞0)在x＝2时取得最小值4. (2)设0＜x＜，求函数y＝4x(3－2x)的最大值； [解析]　∵0＜x＜，∴3－2x＞0， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤2. 2＝ 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． ∵， ∈ ∴函数y＝4x(3－2x). 的最大值为 (3)已知x＞2，求x＋的最小值； [解析]　∵x＞2，∴x－2＞0， ∴x＋＋2＝6， ＋2≥2＝x－2＋ 当且仅当x－2＝， 即x＝4时，等号成立．∴x＋的最小值为6. (4)已知x＞0，y＞0，且＝1，求x＋y的最小值． ＋ [解析]　∵x＞0，y＞0，＝1， ＋ ∴x＋y＝＋10＝6＋10＝16， ＋10≥2＋(x＋y)＝ 当且仅当＝1， ＋，＝ 即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 应用均值不等式的常用技巧 (1)常值代替 这种方法常用于“已知ax＋by＝m(a，b，x，y均为正数)，求＝1(a，b，x，y均为正数)，求x＋y的最小值”两类题型． ＋的最小值”和“已知＋ (2)构造不等式 当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围． (3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件． 设x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，求的最小值． ＋ 解析： ∵x＞0，y＞0,2x＋y＝1， ∴＋＝3＋＋＝＋ ≥3＋2， ＝3＋2 当且仅当x时，等号成立， ，即y＝＝ 解得x＝1－－1， ，y＝ ∴当x＝1－.有最小值3＋2＋－1时，，y＝ 探究二　均值不等式的实际应用 [例2]　如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”．在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：s＝v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米．现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”．v2＋ (1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式； (2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？ [解析]　(1)T＝. ＋＋＝＝ (2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小． ∵T＝， ＝＋≥2＋＋ 当且仅当，即v＝20时取等号． ＝ ∴当v＝20米/秒时，经过观测点A的车流量最大． 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件． 某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货．每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？ 解析：设每年购进8 000个元件的总花费为S，一年总库存费用为E，手续费为H，每年分n次进货， 则x＝，H＝500 n. ×，E＝2× 所以S＝E＋H＝2×≥4 000. ＋500n＝500＋500n＝× 当且仅当＝n，即n＝4时总费用最少，故以每年进货4次为宜. 一、用均值不等式求最值的策略 1．配凑 以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整