2.1.1 等式的性质与方程的解集（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

2．1　等式 2．1.1　等式的性质与方程的解集 内　容　标　准 学　科　素　养 1.掌握等式的性质，并能进行应用． 逻辑推理 数学运算 2.理解常见恒等式及其变形的形式，能对一些式子进行化简． 3.能通过因式分解求方程的解集. [教材提炼] 知识点一　等式的性质 1．等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等，用公式表示：如果a＝b，那么a±c＝b±c；这里的a，b，c可以是具体的一个数，也可以是一个代数式． 2．等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用公式表示：如果a＝b，那么ac＝bc，(c≠0)． ＝ 知识点二　恒等式 1．a2－b2＝(a＋b)(a－b)；(平方差公式) 2．(a－b)2＝a2－2ab＋b2；(两数差的平方公式) 3．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(两数和的平方公式) 4．a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)；(立方差公式) 5．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)．(立方和公式) 知识点三　方程的解集 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为方程的解集． [自主检测] 1．一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为(　　) A．－2　　　　　 B．1 C．2 D．0 答案：D 2．分解因式：x2－1＝________. 答案：(x＋1)(x－1) 3．方程x2＋2x＋1＝0的解集为________． 答案：{－1} 4．多项式4a－a3分解因式的结果是________． 答案：a(2－a)(2＋a) 探究一　利用恒等式化简 [例1]　(1)分解因式：9－b2＝________； (2)分解因式：4a2－4a＋1＝________. [解析]　(1)利用平方差公式分解因式． (2)利用完全平方公式分解． [答案]　(1)(3＋b)(3－b)　(2)(2a－1)2 利用恒等式化简的步骤 (1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式． (2)提公因式后看多项式的项数． ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式因式分解． ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解． ③若多项式有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法． (3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行． 1．将多项式x－x3因式分解正确的是(　　) A．x(x2－1)　　　　　　　 B．x(1－x2) C．x(x＋1)(x－1) D．x(1＋x)(1－x) 解析：x－x3＝x(1－x2)＝x(1＋x)(1－x)．故选D. 答案：D 2．分解因式：a3b－ab3＝________. 解析：a3b－ab3＝ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)． 答案：ab(a＋b)(a－b) 探究二　十字相乘法 [例2]　分解因式： (1)x2＋6x－7； (2)2x2－7x＋6； (3)x2＋29xy＋100y2. [解析]　(1)法一：x2＋6x－7＝x2＋6x＋9－9－7 ＝(x＋3)2－16 ＝(x＋3＋4)(x＋3－4) ＝(x＋7)(x－1)． 法二：x2＋6x－7＝(x＋7)(x－1)． (2)首先把二次项系数2分成1×2，常数项6分成(－2)×(－3)，写成十字相乘，左边两个数的积为二次项系数． 右边两个数相乘为常数项，交叉相乘的和为1×(－3)＋2×(－2)＝－7，正好是一次项系数，从而得2x2－7x＋6＝(x－2)(2x－3)． (3)x2＋29xy＋100y2＝x2＋29y·x＋4y·25y＝(x＋4y)(x＋25y)． 1．对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行因式分解． 2．对于二次三项式ax2＋bx＋c(a、b、c都是整数，且a≠0)来说，如果存在四个整数a1，c1，a2，c2满足a1a2＝a，c1c2＝c，并且a1c2＋a2c1＝b，那么二次三项式ax2＋bx＋c即a1a2x2＋(a1c2＋a2c1)x＋c1c2可以分解为(a1x＋c1)(a2x＋c2)． 分解因式：－x＋7. x2＋ 解析：－(x－7)(x＋3)． (x2－4x－21)＝－x＋7＝－x2＋ 探究三　方程的解集 [例3]　求方程6x2－7x－5＝0的解集． [解析]　因为6x2－7x－5＝(2x＋1)(3x－5)， 所以(2x＋1)(3x－5)＝0， 从而可知2x＋1＝0或3x－5＝0，即x＝－， 或x＝ 因此方程的解集为. 一元二次方程解法的选择 (1)直接开平方法适用情况 ①当方程缺少一次项时，即方程ax2＋c＝0(a≠0，ac＜0)； ②形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程． (2)因式分解法适用情况 ①缺少常数项，即方程ax2＋bx＝0(a≠0)； ②一元二次方程的一