2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

2．1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 内　容　标　准 学　科　素　养 1.了解一元二次方程的概念，能用配方法求一元二次方程的解集． 逻辑推理 数学抽象 2.掌握一元二次方程的求根公式并能熟练应用． 3.理解一元二次方程根与系数的关系. [教材提炼] 知识点一　一元二次方程的有关概念 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c为常数，且a≠0.其中二次项是ax2，一次项是bx，c是常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数． 知识点二　一元二次方程的解法 直接开平方法 形如(x－k)2＝t(t≥0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程． 配方法 把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)通过配方化成(x－k)2＝t(t≥0)的形式，再用直接开平方法求解. 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足b2－4ac≥0，利用求根公式x＝求解． 因式分解法 一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即(x＋m)(x＋n)＝0(a≠0)的形式，可解得两根为：x1＝－m，x2＝－n. 知识点三　一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－. ，x1x2＝ [自主检测] 1．已知一元二次方程x2＋k－3＝0有一个根为1，则k的值为(　　) A．－2　　　　　　　　 B．2 C．－4 D．4 解析：把x＝1代入方程得1＋k－3＝0， 解得k＝2. 故选B. 答案：B 2．关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是(　　) A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 解析：Δ＝(k＋3)2－4×k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8， ∵(k＋1)2≥0， ∴(k＋1)2＋8＞0，即Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选A. 答案：A 3．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________． 答案：k≤5且k≠1 探究一　配方法求方程的解集 [例1]　利用配方法解方程2x2－4x－30＝0. [解析]　∵2x2－4x－30＝0， ∴2x2－4x＋2＝32， ∴x2－2x＋1＝16， ∴(x－1)2＝42， ∴x1＝5，x2＝－3. 故方程的解集为{－3,5}. 用配方法解一元二次方程的步骤 (1)化二次项系数为1，即方程两边都除以二次项系数； (2)移项：把常数项移到方程的右边； (3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方的形式； (4)开方：方程两边同时开方(直接开平方法)，目的是为了降次，得到一元一次方程； (5)得解：如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为(　　) A.2＝1 2＝1 B. C.2＝ D.2＝ 解析：由y2－y－2＝1，故选B. ＝1，即，所以y2－y＋＝0，得y2－y＝ 答案：B 探究二　一元二次方程根的判别式及其应用 [例2]　关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋2k＋2＝0. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围． [解析]　(1)证明：依题意，得Δ＝[－(k＋3)]2－4(2k＋2) ＝(k－1)2， ∵(k－1)2≥0， ∴方程总有两个实数根． (2)由求根公式，得x＝， ∴x1＝2，x2＝k＋1. ∵方程有一个根小于1， ∴k＋1＜1. ∴k＜0. 即k的取值范围是k＜0. 根的判别式的三个应用 (1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况． (2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或范围)． (3)证明一个一元二次方程根的情况． 若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．m≥1　　　　　　　 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1 解析：∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相同的实数根， ∴Δ＝(－2)2－4m＞0， 解得：m＜1.故选D. 答案：D 探究三　一元二次方程根与系数的关系 [例3]　已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； (2)若＝－1，求k的值． ＋ [解析]　(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，解得k＞－. (2)∵x1，x2是方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0的实数根， ∴x1＋x2＝－2k－3，x1x2＝k2， ∴＝－1， ＝＝＋ 解得k1＝3，k2＝－1，又∵k＞