2.2.4 第1课时 均值不等式（word教参）-【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教B版）

2．2.4　均值不等式及其应用 第1课时　均值不等式 内　容　标　准 学　科　素　养 1.探索并了解均值不等式的证明过程． 直观想象 逻辑推理 2.能熟练运用均值不等式来比较两个实数的大小． 3.能初步运用均值不等式证明简单的不等式. [教材提炼] 知识点　均值不等式 1.给定两个正数a，b，数称为a，b的几何平均值． 称为a，b的算术平均值，数 2．如果a，b都是正数，那么，当且仅当a＝b时，等号成立． ≥ 3．几何意义：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． [自主检测] 1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab|　　　 B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2＞2|ab| 答案：A 2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2 C.＞＋ D.≥2 ＋ 答案：D 3．若x＞0，y＞0且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是(　　) A.≥1 ＋ B.＞ C.≥1 ≥2 D. 答案：B 探究一　用均值不等式判断不等式的成立 [例1]　有下列式子：①a2＋1＞2a；②≥1，其中正确的个数是(　　) ≥2；④x2＋≥2；③ A．0　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解析]　∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a， 故①不正确；对于②，当x＞0时，－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．∴选C. ＝x2＋1＋＝－2＜2，故③不正确；对于④，x2＋≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴②正确；对于③，若a＝b＝－1，则＝－x－≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x＜0时，＝x＋ [答案]　C 利用均值不等式比较实数大小的注意事项 (1)利用均值不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性)． (2)利用均值不等式时，一定要注意条件是否满足a＞0，b＞0. 设M＝a＋，则M，N的大小关系为(　　) －3x)(2＜a＜3)，N＝x(4 A．M＞N B．M＜N C．M≥N D．M≤N 解析：M＝a＋＋2＞4， ＝a－2＋ N＝x(42＝4. ×－3x)≤×3x(4－3x)＝ ∴M＞N. 答案：A 探究二　用均值不等式证明不等式 [例2]　(1)证明不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. [证明]　∵a2＋b2≥2ab b2＋c2≥2bc c2＋a2≥2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)(当且仅当a＝b＝c取等号) ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. (2)已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：≥a＋b＋c. ＋＋ [证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴＞0. ＞0，＞0， 则＝2c， ≥2＋ ≥2a. ＋≥2b，＋ 由不等式的性质知， 2≥2(a＋b＋c)， ∴≥a＋b＋c.＋＋ 利用均值不等式证明不等式的注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，在证明不等式时注意使用条件； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用. 一、千变万化，不离其宗 均值不等式的几种常见变形及结论 (1)a＋b≥2(a＞0，b＞0)； (2)ab≤(a，b∈R)； (3)ab≤2，(a，b∈R)； (4)≥2(ab＞0)； ＋ (5)a＋(a＞0，k＞0)； ≥2 (6)(a，b都是正实数)．≤ ≤≤ [典例]　已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求证：≤1. ＋＋ [证明]　∵， ≤，≤，≤ ∴＝1. ≤＋＋ 故原不等式成立． 二、忽视均值不等式的条件 [典例]　设y＝x＋，求y的取值范围． [解析]　当x＞0时， y＝x＋＝2. ≥2 当且仅当x＝， 即x＝1时取“＝”． 当x＜0时，y＝x＋].＝－[(－x)＋ ∵(－x)＋≥2， ∴－[(－x)＋]≤－2. 当且仅当x＝时， 即x＝－1时取“＝”． ∴y的取值范围为{y|y≤－2或y≥2}. 一、复习巩固 1．下列不等式正确的是(　　) A．a＋≥2 B．(－a)＋(－)≤－2 C．a2＋≥2 D．(－a)2＋(－)2≤－2 答案：C 2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<n＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n　　　　　　 B．m<n C．m＝n D．m≤n 解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立． ＋1≥2 所以m>n. 答案：A 3．已知0<x<1，