第07讲 “平行线”的证明-【专题突破】2021-2022学年八年级数学上册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第07讲 “平行线”的证明 1. 平行线的概念： 在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“”表示． 2.平行线的性质与判定 平行线的性质 几何语言 两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等； 两直线平行，同旁内角互补． 若，则； 若，则； 若，则 平行线的判定 几何语言 同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行． 若，则； 若，则； 若，则 3.平行公理： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 几何语言： 过直线外一点做，，则与重合． 4. 平行公理推论： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行． 几何语言： 若，则． 5.常考模型 （1）M型模型（也称“猪蹄模型”） （2）铅笔头模型 （3）鸡翅模型 （4）折鸡翅模型 （5）多个M型模型 （6）多个铅笔头模型 6.三角形的内角和为180°，三角形任意一个外角度数等于与它不相邻的两个内角之和。 例题1 如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB//CD的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】 解：A、∵∠3=∠4，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意； B、∵∠1=∠2，∴AB∥CD，此选项符合题意； C、∵，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意； D、∵，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】 本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答的关键． 例题2 下列说法： ①在同一平面内，不相交的两条线段叫做平行线； ②过一点，有且只有一条直线平行于已知直线； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ④同旁内角相等，两直线平行． 正确的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 ①根据平行线的定义进行判定； ②根据平行线的性质进行判定； ③根据平行线的性质定理进行判定，两条直线平行，同位角相等； ④根据平行线的判定定理进行判定，同旁内角互补两条直线平行． 【详解】 ①在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，故原命题错误； ②过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故原命题错误； ③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，正确； ④同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误． 故选：A 【点睛】 本题考查了平行线的定义，平行线性质定理和平行线的判定定理． 例题3 如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为(　　) A．α+β+γ=360° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=180° 【答案】C 【分析】 过点E作EF∥AB，如图，易得CD∥EF，然后根据平行线的性质可得∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ，进一步即得结论． 【详解】 解：过点E作EF∥AB，如图，∵AB∥CD，AB∥EF，∴CD∥EF， ∴∠BAE+∠FEA=180°，∠C=∠FEC=γ， ∴∠FEA=β﹣γ，∴α+(β﹣γ)=180°，即α+β﹣γ=180°． 故选：C． 【点睛】 本题考查了平行公理的推论和平行线的性质，属于常考题型，作EF∥AB、熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 例题4 如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠1与∠2互余， 求证：AB∥CD． 【答案】见解析 【分析】 先用角平分线的性质得到，，再用与互余，即可得到与互余. 【详解】 证明：∵∠1与∠2互余， ∴∠1＋∠2＝90°. ∵BE平分∠ABD，DE平分∠CDB， ∴∠ABD＝2∠1，∠BDC＝2∠2. ∴∠ABD＋∠BDC＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)＝180°. ∴AB∥DC. 【点睛】 此题主要考查了平行线的判定，角平分线的意义，解本题的关键是用角平分线的意义得到，. 例题5 如图，将一副直角三角板摆放，点C在EF上，AC经过点D，已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC，∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 由AB=AC，∠A=90°， 根据等腰直角三角形的性质可得∠ACB=45°， 即可求得∠ACE=85°， 又因∠ACE=∠F+∠CDF，∠F=60°， 由此可得∠CDF=25°. 【详解】 ∵AB=AC，∠A=90°， ∴∠ACB=45°， ∵∠BCE=40°，