专题22 抛物线及其标准方程-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题22 抛物线及其标准方程 题型一 利用抛物线定义求动点轨迹 1．(多选)若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（ ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 【答案】BCD 【解析】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点不在直线上，符合抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线， 故选：BCD 2．与圆外切，且与直线相切的动圆圆心的轨迹方程是_____. 【答案】 【解析】由圆可得，圆心，半径， 设所求动圆圆心为，过点作直线，为垂足， 则，可得， 因此可得，点的轨迹是到定点的距离和到直线的距离相等的点的集合. 由抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线， 定点为焦点，定直线是准线. 所以抛物线的方程为 故答案为： 3．若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大，求点的轨迹方程． 【答案】． 【解析】若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大， 所以动点到的距离与它到直线的距离相等． 由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式， 而，所以，， 故点的轨迹方程为． 题型二 抛物线上的点到定点的距离及最值 4．设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，据已知抛物线方程可得其准线方程为， 又由点到轴的距离为，可得点的横坐标. 由抛物线定义可知点到焦点的距离等于其到准线的距离，即. 故选：C. 5．设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，则（ ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【解析】由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、， 连接、，由梯形的中位线知，，，所以. 故选：D. 6．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则△PMF周长的最小值是_____. 【答案】5 【解析】如图，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3） 抛物线C：x2＝8y的焦点为F（0，2），准线方程为y＝﹣2. 过作准线的垂线，垂足为，则有 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以△PMF的周长最小值为55. 故答案为：5. 题型三 根据抛物线方程求焦点或准线 7．若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意可知抛物线的准线方程为，∵到该抛物线的焦点的距离为， ∴到准线的距离为，即，∴，代入抛物线方程求得， ∴点到轴的距离为. 故选：A 8．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由抛物线得准线方程为y＝﹣，因此双曲线的一个焦点为，∴c＝． 双曲线化为，∴a＝1，∴双曲线的离心率＝． 故选：C． 9．抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为________. 【答案】 【解析】解析：如图，FPM是等边三角形. 由抛物线的定义知PM⊥l，， 在中，|QF|=2，∠QMF=30°，所以|MF|，即等边三角形边长为4， 故等边三角形面积为. 故答案为：. 题型四 抛物线标准方程的求解 10．抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________． 【答案】x2＝－4y 【解析】由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.所以抛物线焦点坐标为(0，－)，所以抛物线方程为x2＝－4y. 故答案为：x2＝－4y 11．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. （1）过点(3,-4)； （2）焦点在直线x+3y+15=0上. 【答案】（1）或；（2）或. 【解析】（1）∵点(3,-4)在第四象限， ∴抛物线开口向右或向下，设抛物线的标准方程为 (p>0)或 (p1>0). 将(3,-4)的坐标分别代入方程中， ∴由，得：；由，得. ∴所求抛物线的标准方程为或. （2）令x=0得y=-5；令y=0得x=-15. ∴抛物线的焦点为(0,-5)或(-15,0). ∴所求抛物线的标准方程为或. 12．已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5． （1）求C的方程； （2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（