第01讲 勾股定理-【专题突破】2021-2022学年八年级数学上册重难点专题突破+阶段检测卷(北师大版)

第01讲 勾股定理 1.基本概念 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 表达形式：在中，的对 边分别为，则有：①；②；③． 2.勾股定理逆定理 若三角形的三边长a,b,c满足，则这个三角形是直角三角形。 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c） ②计算与，并验证是否相等。 若=，则△ABC是直角三角形；若≠，则△ABC不是Rt△。 注意： 在判断一个三角形是不是直角三角形时，a2+b2是否等于c2需 通过计算说明，不能直接写成a2+b2=c2. 1. 两线之和最小值 在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小； ①两定点在直线m两侧： ②两定点在直线同侧： m 1. 一个点到一条线画垂线段的距离最小。 例题1 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，不能组成直角直角三角形的是（ ） A．3、4、5 B．5、12、13 C．9、14、15 D．12、16、20 【答案】C 【分析】 判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】 解：A、32+42=52，故能组成直角三角形，正确； B、52+122=132，故能组成直角三角形，正确； C、92+142≠152，故不能组成直角三角形，错误； D、92+122=152，故能组成直角三角形，正确． 故选：C． 【点睛】 本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 例题2 如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】 首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值； 接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状. 【详解】 ∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25， ∴BC2 +AB2= AC2， ∴△ABC是直角三角形.故选B. 【点睛】 本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理. 例题3 如图，在长方形中，cm，cm，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________. 【答案】6 【分析】 由折叠的性质可知AE与BE间的关系，根据勾股定理求出AE长可得面积. 【详解】 解：由题意可知.因为cm，所以cm.在中，根据勾股定理可知，，所以，所以cm，所以的面积为（）. 故答案为6 【点睛】 本题考查了勾股定理，由折叠性质得出直角边与斜边的关系是解题的关键. 例题4 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点到点的距离为5cm，要从点到点经棱拉一条彩带，彩带的最短长度是________cm. 【答案】25 【分析】 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】 只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形,如第1个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得： ∴AB=； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10， 在直角三角形ABD中,根据勾股定理得： ∴AB= ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ∴AC=CD+AD=20+10=30， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得： ∴AB= ； ∵25<5 <5 , ∴彩带的最短长度是25. 【点睛】 此题考查平面展开-最短路径问题，解题关键在于画出展开图. 1．下列各组数是三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（ ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，12 D．，， 【答案】B 【解析】 试题解析：A、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项错误； B、42+32=572，故是直角三角形，故此选项正确； C、62+82≠122，故不是直角三角形，故此选项错误； D、（）2+（）2≠（）2，故不是直角三角形，故此选项错误． 故选B． 【点睛】：勾股定理的逆定理． 2.如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角