第12讲 一次函数图像性质的探究-2021-2022学年八年级数学上学期精选专题突破(苏科版)

第12讲 一次函数图像性质的探究 【解题策略】 一次函数是初中数学最重要的内容之一，它的知识结构体系非常丰富，在具体的解题过程中会运用许多重要的思想方法，所以，在理解和掌握一次函数相关性质时，仍要掌握一些如数形结合、函数思想等解题技巧，可以提高同学们的学习效率. 一次函数有关知识点和解题技巧如下图： 【例题讲解】 【例题1】已知一次函数， (1) 当 时，它的图象经过原点； (2) 当 时，它的图象经过点(0，－2)； (3) 当 时，它的图象与轴的交点在轴的上方； (4) 当 时，它的图象平行于直线； (5) 当 时，随的增大而减小. 【答案】 解：（1）图象经过原点，需＝0，∴； （2）把点(0，－2)代入，解得＝10； （3）图象与轴的交点在轴的上方，需＞0，且3－≠0， 解得＜9且≠3； （4）图象平行于直线，说明3－＝－1，解得； （5）随的增大而减小，需3－＜0，解得. 【变式1】已知函数y=（2m﹣2）x+m+1， （1）m为何值时，图象过原点． （2）已知y随x增大而增大，求m的取值范围． （3）函数图象与y轴交点在x轴上方，求m取值范围． （4）图象过二、一、四象限，求m的取值范围． 【答案】 解：（1）∵函数图象过原点， ∴m+1=0，即m=﹣1； （2）∵y随x增大而增大， ∴2m﹣2＞0，解得m＞1； （3）∵函数图象与y轴交点在x轴上方， ∴m+1＞0，即m＞﹣1； （4）∵图象过二、一、四象限， ∴，解得﹣1＜m＜1． 【变式2】已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b的取值情况为（　　） A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0 【答案】A； 【解析】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b， ∵函数值y随x的增大而增大， ∴k﹣1＞0，解得k＞1； ∵图象与x轴的正半轴相交， ∴图象与y轴的负半轴相交， ∴b＜0． 故选：A． 【变式3】直线：与直线：在同一坐标系中的大致位置是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C； 【例题2】一次函数交轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6， 求一次函数解析式. 【答案】 解： 设一次函数的解析式为. 当过时，； 当过时，； 所以，一次函数的解析式为或. 【变式1】在平面直角坐标系中，已知两点，，在轴上 求作一点P，使AP＋BP最短，并求出点P的坐标. 【答案】解：作点A关于轴的对称点为，连接，与轴交于点P，点P即为所求. 设直线的解析式为， 直线过， 的解析式为：，它与轴交于P（0，1）. 【例题3】已知一次函数的图象过点，与轴交于点，与轴交于点，且，求点的坐标． 【答案】 解：由题意得，，则 . 一次函数的图象过点， . 当时，，； 当时，，. 综上所述，点A的坐标为或. 【变式1】在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知一次函数的图象平行于直线y＝x，且经过点A(2，3)，与x轴交于点B． （1）求这个一次函数的解析式； （2）设点C在y轴上，当AC＝BC时，求点C的坐标． 【答案】解:（1）设一次函数的解析式为：y＝kx＋b，∵一次函数的图象平行于直线y＝x，∴k＝.∵一次函数的图象经过点A(2，3)，∴3＝＋b，∴b＝2.∴一次函数的解析式为y＝x＋2. （2）由y＝x＋2，令y＝0，得x＋2＝0，∴x＝－4，∴一次函数的图象与x轴的解得为B(－4，0)，∵点C在y轴上，∴设点C的坐标为(0，y)， ∵AC＝BC，∴，∴y＝－， 经检验：y＝－是原方程的根，∴点C的坐标是(0，－)． 【例题4】已知正例函数y=kx(k≠0)的图象过点（2，3），把正例函数y=kx(k≠0)的图象平移， 使它过点（1，-1），则平移后的图象大致是（ ） A B C D 【答案】D 【解析】本题考查了正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点求出一次函数解析式，把点代入得 解得， ∴正比例函数解析式为， 设正比例函数平移后函数解析式为， 把点代入得， ∴， ∴平移后函数解析式为， 故函数图象大致． 因此本题选D． 【变式1】把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后 所得直线的解析式为　 　． 【答案】 y＝2x+3{解析}利用一次函数