精品解析：北京市东直门中学2022届高三上学期期中考试数学试题

2021北京东直门中学高三（上）期中 数学 2021.11 命题人：李伟峰 审稿人：盛晓艳 考试时间：120分钟 总分：150分 班级______________姓名______________学号______________ 第一部分（选择题） 一、选择题：(本题有12道小题，每小题4分，共48分) 1. 已知集合，，那么 A B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则下列各式值一定为负的是 A. B. C. D. 3. 已知，且，那么（ ） A. B. C. D. 4. 已知则“存在使得”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列函数中为偶函数的是（ ） A. y = ln (1 + x) – ln (1 – x) B. y = ln (1 + x) + ln (1 – x) C. y = x cos x D. y = x + cos x 7. 已知函数，则不等式的解集是（ ）． A. B. C. D. 8. 已知函数f (x) = A sin (ωx + φ)的部分图象如图所示，则f (x)的表达式可以为（ ） A. f (x) = 2sin B. f (x) =2sin C. f (x) =2sin D. f (x) = -2sin 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 年月日 年月日 注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每千米平均耗油量（ ） A. 升 B. 升 C. 升 D. 升 11. 在中，角，，的对边分别为，，若，，，则的面积（ ） A. B. C. 1 D. 12. 已知定义域为的奇函数的周期为，且时，，若函数在区间（且）上至少有5个零点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题） 二、填空题：(本题有5道小题，每小题5分，共25分) 13. 函数f (x) = ln的定义域是________________． 14. 若sin ，则sin 2α = _____________． 15. 如果将函数的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么__________． 16. 已知x ，令a = log 3 x，b = sin x，c = 2x，那么a，b，c之间的大小关系为________________． 17. 若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________. 三、解答题：(本题有6小题，共77分) 18. 已知函数 . （1）求的最小正周期； （2）若在区间上的最小值为，求的最大值． 19. 在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 20. 如图，在四棱锥P – ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD ⊥ CD，AD // BC，PA = AD = CD = 2，BC = 3．E为PD的中点，点F在PC上，且． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）求二面角F – AE – P的余弦值； （3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． 21. 已知函数f (x) = ． （1）求曲线y = f (x)在点(0 ,f (0))处的切线方程； （2）求函数f (x)的单调区间和极值； （3）若对任意x1, x2 [a, +)，都有f (x1) – f (x2) 成立，求实数a的最小值． 22. 已知椭圆的离心率是，且过点.直线与椭圆相交于两点. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的面积的最大值； （Ⅲ）设直线，分别与轴交于点，.判断，大小关系，并加以证明. 23. 有限个元素组成的集合，，记集合中的元素个数为，即.定义，集合中的元素个数记为，当时，称集合具有性质. （1），，判断集合，否具有性质，并说明理由； （2）设集合，且()，若集合具有性质，求的最大值； （3）设集合，其中数列