专题18 椭圆及其标准方程-2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修第一册）

2021-2022学年高二数学题型解读与训练（人教A版2019选择性必修一） 专题18 椭圆及其标准方程 题型一 利用椭圆定义求方程 1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1 【答案】A 【解析】∵椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26， ∴椭圆的焦点在x轴上，c＝5，a＝13，∴＝12， ∴椭圆的方程为＝1． 故选：A． 2．已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是_____________. 【答案】 【解析】由题意得， 因为是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点， 所以； 因此， 根据椭圆的定义，点的轨迹是，为焦点，以为实轴长的椭圆， 所以，，所以，所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 3．设分别是椭圆的左、右焦点，当时，点在椭圆上，且，求椭圆的标准方程． 【答案】． 【解析】解：，，， 又，， 由椭圆定义可知， ， 从而得，， 椭圆方程为：． 题型二 椭圆上点到焦点的距离及最值 4．已知椭圆的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|∶|PF2|＝（ ） A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3 【答案】C 【解析】由＝1可知，，所以， 所以F1(－2，0)，F2(2，0)， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ∴可设P(2，y)， 把P(2，y)代入椭圆，得. ∴|PF1|＝，|PF2|＝. ∴. 故选：C 5．已知椭圆上一点P到椭圆一个焦点的距离是3，则P点到另一个焦点的距离为（ ） A．5 B．3 C．2 D．7 【答案】D 【解析】解：由题意得，，， 由椭圆的定义可知点P到椭圆的两焦点的距离和为10， 因为点P到椭圆一个焦点的距离是3， 所以点P到椭圆另一个焦点的距离为7 故选：D 6．已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设椭圆的右焦点为， 由，则， 根据椭圆的定义可得， 所以 7．设分别是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，若线段的中点在轴上，则=______. 【答案】 【解析】设，中点. 由题意得，，由线段的中点在轴上， 则有，，代入中得P点坐标 为或根据焦半径公式可得，， ∴. 故答案为：. 题型三 椭圆上点到坐标轴上的点的距离及最值 8．椭圆上任一点到点的距离的最小值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设点的坐标为，其中， 由，可得， 又由， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：B. 9．已知为坐标原点，椭圆上的点到左焦点的距离为4，为的中点，则的值等于______． 【答案】3 【解析】如图所示，连结，因为为的中点，且为坐标原点，所以， 由椭圆定义可得，又，所以，因此. 故答案为3 10．设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|>|PF2|，求的值． 【答案】2 【解析】由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 根据直角的不同位置，分两种情况： 若∠PF2F1为直角，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即|PF1|2＝(6－|PF1|)2＋20，解得|PF1|＝，|PF2|＝，故＝； 若∠F1PF2为直角，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2， 即20＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 得|PF1|＝4，|PF2|＝2，故＝2. 11．椭圆上一点P到左焦点F的距离为6，若点M满足（O为坐标原点），则________． 【答案】2 【解析】由椭圆得，， 左焦点，设，则又 解得或（舍去）； 又在椭圆上，则将代入到椭圆方程中求出， 所以点，； 由点满足，则得为中点， 根据中点坐标公式求得， 所以 故答案为：2. 题型四 根据椭圆方程求a、b、c及参数 12．已知，“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解：若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B 13．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于椭圆的焦点在轴上，∴，解得或. 故选：C 14．椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则的值为______ 【答案】或 【解析】将转换成， 当焦点在轴时，长轴长是，短轴长是，则， 当焦点在轴时，短轴长是，长轴长是，则， 综上填或. 故答案