第1章 空间向量与立体几何-【口袋书】高考数学复习思维导图（人教A版2019）（选择性必修第一册）

学利网 々抖囡原创,让学习更客易! Www.2xxa.com Jp.zXxk.cOm 学科网精品频道全力推荐 第1章空间向量与立体几何 定义:空间中既有大小又有方向的量称为空间向量 模(或长度):向量的大小 空间向量 表 ①几何表示法:可以用有向线段来直观的表示向量, 方 如始点为A终点为日的向量,记为,模为 法 Q②字母表示法:可以用字母a,b,,…表示,模为la,11,Il 零向量:始点和终点相闷的向量称为零向量,记作0 单位向量:模等于1的向量称为单位向量 基本 相等向量:大小相等、方向相同的向量称为相等向量 概相反向量:方向相反,大小相等的向量称为相反向量 念 平行向量:方向相同或者相反的两个非零向量互相平行 共面向量:一般地,空间中的多个向量,如果表示它们的有向线段 通过平移后,都能在同一平面内,则称这些向量共面 对空阃三点P,A.日可通过证明下列结论成立来证明三点共线:(1-A(A∈R 空间向量及其运算 (2)对空间任一点O, =A+tAB(t∈R); 共线 (3)对空间任一点0,=x+yd(x+y=1 定理 两个向量a,b不共线,则向量abc共面的充要条件是存在唯一的实数对x,y)使c=xa+yb 证明空间四点共面的方法 对空间四点P,M,A,B来证明四点共面:(1)MP=xMA+yMB; 共面 定2)对空间任一点O,OF=oM+xMf+ME 理 (3)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM) (4)M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+zOC,x+y+z=1 定义:两个非零向量a,b,则a‖bcsa,b>叫做a,b的数量积记作ab ①向量的投影:a在b上的投影acos<a,b>= 数量积 + ②数量积的几何意义:ab= a b cos<a,b> 空间向量数量积的性质:①a⊥b台ab=0②a·a=|a2=a ⑧la·b图a‖bl ④(a)b=(a·b)⑤ab=b·a(交换律) 原创精品资源学科网独家享有版杈,侵权必究 学利网 々抖囡原创,让学习更客易! Www.2xxa.com Jp.zXxk.cOm 学科网精品频道全力推荐 如果空间中的三个向量a,b,c不共面,那么对空间中的任意一个向量p, 存在唯一的有序实数组(x,y,习),使得p=xa+yb+ze 基本定理 特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0时,x=y=z=0 空间中三个不共线的向量可以作为基底 证明空间四点共面的方法 空间向量基本定理 对空间四点P,M,A,B来证明四点共面:(1)MP=xM+yMB 基底(2)对空间任一点O,oF=o+xM+yME (3)PM∥AB(或PA∥MB或PB∥AM) (4)M与A,B,C一定共面的充要条件是OM=xOA+yOB+z0C,x+y+z=1 a bb a 异面直线的夹角 采用数量积变形公式 运用线面平行 O abb=4a 线面垂直 a⊥b分a·b= 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学利网 々抖囡原创,让学习更客易! Www.2xxa.com Jp.zXxk.cOm 学科网精品频道全力推荐 一般地,如果空间向量的基底{e,e2e3}中,e,e2都是单位向量, 而且这三个向量两两垂直,就称这组基底为单位正交基底,在单位 正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解,而且,如果 p=xe,+ye,+ze3, 则称有序实数组(x,y,2)为向量p的坐标, ⊙、记作p=(x,y,2.其中x,yz都称为p的坐标分量 定义 右手拇指指向x的正方向,右手食指指向y轴的正方向, 右手法则 右手中指指向z轴的正方向 坐 空间向量的坐标匀速与原点的选择无关,坐标位 标」N注。夏不同,只会彩响计果的繁,不会彩响结果 般要求 量选择问题中涉及到的点落在坐标轴上 空间向量及其运算的坐标表示 假设空间中两个向量a,b满足a=(x,y,),b≡(x2,y2,z2),则 a tb=(txi, ntv2, 41te 若u,v是两个实数,ua+vb=(axn+ux2,a+y2,uz+vz2) la b=x x2ty12t4z2 aaa=\i+yi+zi 坐 标 b 当a≠0且b≠0时 xx2tyy千:132 算 ity +anxity+z2 当a≠0时,a∥b分b z)=A(xl,y1,a)ef2=Ay 当a的每一个坐标分量都不为零时,有a的一B=2 x1 vI 4 a⊥b分ab=0分xx2+yy2+: 原创精品资源学科网独家享有版权,侵权必究! 学利网 々抖囡原创,让学习更客易! Www.2xxa.com Jp.zXxk.cOm 学科网精品频道全力推荐 (1)设出平面的法向量n=(x,y, (2)找出平面内两步共线的已知向量a的坐标 (3)建立关于x、y、z的方程组 n·b=0 (4)解方程组 法向量 位