3.2函数与方程、不等式之间的关系（知识梳理+题型归纳） -2021-2022学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第一册）

第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系 知识梳理.函数的零点、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 1．函数的零点 一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点． 2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)： (1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)； (2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点； (3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x轴没有公共点． 题型一.与函数零点相关的问题 考点1.求函数的零点 1．若函数f（x），则函数g（x）＝f（4x）﹣x的零点是　　． 【解答】解：∵f（x）， ∴f（4x），令g（x）＝f（4x）﹣x＝0， 即，解得x， 故答案为． 2．已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2017，则x1+x2+…+x2017＝　0　． 【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数， ∴f（0）＝0，则0是函数y＝f（x）的零点． ∵奇函数的其他2016个非0的零点关于原点对称， ∴x1+x2+…+x2017＝0， 故答案为：0． 3．已知函数f（x）＝x2+2x+a，f（bx）＝9x2﹣6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）＝0的解集为　∅　． 【解答】解：由题意知f（bx）＝b2x2+2bx+a＝9x2﹣6x+2 ∴a＝2，b＝﹣3．所以f（2x﹣3）＝4x2﹣8x+5＝0， △＜0，所以解集为∅． 故答案为∅ 考点2.函数零点个数的判断 1．设函数，若f（4）＝f（0），f（2）＝﹣2．则函数F（x）＝f（|x|）﹣|x|的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵当x≥0时，f（x）＝x2+bx+c，且f（4）＝f（0） ∴对称轴为 ∴b＝﹣4 又∵f（2）＝4﹣4×2+c＝﹣2 ∴c＝2 ∴当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x+2 又函数F（x）＝f（|x|）﹣|x|的零点个数，即为方程F（x）＝0的根的个数 即f（|x|）﹣|x|＝0的根的个数，亦即f（|x|）＝|x|的根的个数 设h（x）＝f（|x|），g（x）＝|x|（　　） 原函数零点的个数转化为函数y＝h（x），y＝g（x）的图象的交点的个数， y＝h（x），y＝g（x）图象如图：有4个不同的交点 故选：D． 2．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2x﹣x2，那么函数零点个数为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：令f（x）＝a，则f[f（x）]变形为f（a）当a≥0时，f（a）＝﹣（a﹣1）2+1， 解得a1＝1，a2＝1； ∵f（x）为偶函数，∴当a＜0时，f（a）的解为a3＝﹣1，a4＝﹣1； 综上所述，f（x）＝1，1，﹣1，﹣1； 当x≥0时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1＝1，方程无解； f（x）＝﹣（x﹣1）2+1＝1，方程有2解； f（x）＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣1，方程有1解； f（x）＝﹣（x﹣1）2+1＝﹣1，方程有1解； 故当x≥0时，方程f（x）＝a有4解，由偶函数的性质，易得当x＜0时，方程f（x）＝a也有4解， 综上所述，满足f[f（x）]的实数x的个数为8， 故选：D． 3．已知函数，则方程f（f（x））＝1在（﹣1，1]内方程的根的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：若﹣1＜x≤0，由f（x）＝1得：，解得：x， 若0＜x≤1，由f（x）＝1得：x＝1， 所以方程f（f（x））＝1等价于f（x）或f（x）＝1， ①当﹣1＜x≤0时，由f（x）解得：x， ②当0＜x≤1时，由f（x）解得：x（舍）， 由前面分析可知f（x）＝1的解有x或x＝1， 所以方程f（f（x））＝1在（﹣1，1]内方程的根为x＝1或x或x， 故方程f（f（x））＝1在（﹣1，1]内方程的根的个数是3个， 故选：D． 4．已知函数f（x）＝ax2+bx+c（x∈R，a＞0）的零点为x1，x2（x1＜x2），函数f（x）的最小值为y0，且y0∈[x1，x2），则函数y＝f[f（x）]的零点个数是（　　） A．2或3 B．3或4 C．3 D．4 【解答】解：如图所示， ∵函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）的零点为x1，x2（x1＜x2），∴