选修2-1 2.3.1 双曲线的标准方程-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2.3　双曲线 2．3.1　双曲线的标准方程 学习目标：1.了解双曲线标准方程的推导过程．(难点)2.了解双曲线的标准方程，能求双曲线的标准方程．(重点、难点)3.能用双曲线的标准方程处理简单的实际问题．(难点) 　双曲线的标准方程 标准 方程 ＝1－ (a>0，b>0) ＝1－ (a>0，b>0) 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 坐标 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c之 间的关系 c2＝a2＋b2 [基础自测] 　思考辨析 (1)在双曲线标准方程＝1中，a＞0，b＞0且a≠b. (　　)－ (2)在双曲线标准方程中，a，b和焦点F2(c,0)满足a2＝b2＋c2. (　　) (3)双曲线y2－x2＝1的焦点坐标在y轴上． (　　) (4)在双曲线＝1中，焦点坐标为(±5,0)． (　　)－ [解析]　(1)方程＝1中，a>0，b>0.－ a＝b时也是双曲线，故不正确； (2)在双曲线标准方程中，都有a2＋b2＝c2.故不正确． (3)根据标准方程特点，正确． (4)在)．，所以焦点坐标为(0，±＝＝1中，c＝－ [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 求双曲线标准方程 　根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)经过点P；，Q (2)c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上． [思路探究]　解答(1)可分情况设出双曲线的标准方程，再构造关于a，b，c的方程组求解，从而得出双曲线的标准方程．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式，将两点代入，简化运算过程．解答(2)利用待定系数法． [解]　(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，－ ∴点P在双曲线上，和Q ∴ 解得(舍去) 若焦点在y轴上，设双曲线的方程为 ＝1(a>0，b>0)，－ 将P，Q两点坐标代入可得 解得 ∴双曲线的标准方程为＝1.－ 法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P，Q两点在双曲线上， ∴ 解得 ∴所求双曲线的标准方程为＝1.－ (2)法一：依题意可设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)．－ 依题设有解得 ∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1. 法二：∵焦点在x轴上，c＝， ∴设所求双曲线方程为＝1(其中0<λ<6)．－ ∵双曲线经过点(－5,2)， ∴＝1，－ ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1. [规律方法]　 1．用待定系数法求双曲线方程的一般步骤 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． [跟踪训练] 1．已知双曲线与椭圆，4)，求双曲线的方程．＝1有共同的焦点，且过点(＋ [解]　椭圆＝1.－＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0，3)，故可设双曲线的方程为＋ 由题意，知解得 故双曲线的方程为＝1.－ 双曲线标准方程的讨论 　(1)如果方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是________．＋ (2) “ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的________条件(填“必要不充分”、“充分不必要”、“充要”和“既不充分也不必要”)． (3)若方程＝1表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围．＋ [思路探究]　根据双曲线标准方程的特征列不等式组求解． [解]　(1)由题意知(2＋m)(1＋m)＜0，解得－2＜m＜－1.故m的取值范围是(－2，－1)． (2)若ax2＋by2＝c表示双曲线，即<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c等于0时不表示双曲线，即“ab<0”不是充分条件．＝1表示双曲线，则＋ [答案]　(1)(－2，－1)　(2)必要不充分 (3)由方程解得m>5.＝1表示焦点在y轴上的双曲线，得＋ 所以实数m的取值范围是(5，＋∞)． [规律方法]　方程表示双曲线的条件及参数范围的求法 (1)对于方程＝1，当mn＜0时表示双曲线.进一步，当m＞0，n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的双曲线. ＋ (2)对于方程＝1，则当mn＞0时表示双曲线.且当m＞0，n＞0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双曲线. － (3)已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值的要求，建立不等式(组(求解参数的取值范围. [跟踪训练] 2．讨论＝1表示何种圆锥曲线？它们有何共同特征？＋ [解]　由于k≠9，