必修5 2.2.1 2.2.2 第2课时 等差数列的性质-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

第2课时　等差数列的性质 学习目标：1.理解等差中项的概念，并能利用等差中项判断一个数列是否为等差数列．(重点、难点)2.掌握等差数列的有关性质，能运用等差数列的性质解题．(重点)3.了解一次函数同等差数列通项公式间的关系．(重点) 1．等差数列与一次函数 (1)等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，当d＝0时，an是关于n的常函数；当d≠0时，an是关于n的一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． (2)等差数列通项公式的推广：在等差数列{an}中，已知a1，d，am，an(m≠n)，则d＝，从而有an＝am＋(n－m)d.＝ 2．等差中项 如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝叫做a和b的等差中项．.我们把A＝ 3．等差数列的性质 (1)项的运算性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. (2)等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…. (3)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (4){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递增数列；d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列． [基础自测] 1．若{an}是等差数列，若a2＝3，a8＝5，则公差d＝________，an＝________. [解析]　∵d＝.＝＝3＋，∴an＝a2＋(n－2)×＝＝ [答案]　　 2．若点(1，an)，(2，an＋1)在直线y＝x＋3上，则an＋1与an的关系为________． [解析]　由题意可知∴an＋1－an＝1, 即an＋1＝an＋1. [答案]　an＋1＝an＋1 3．若{an}是等差数列，且a2＋a6＋a10＝1，则a4＋a8＝________. [解析]　∵a2＋a10＝a4＋a8＝2a6， ∴a6＝.，∴a4＋a8＝ [答案]　 4．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝________. [解析]　由a7＋a9＝a4＋a12，得a12＝a7＋a9－a4＝16－1＝15. [答案]　15 等差中项及其应用 　已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值． [思路探究]　由x1，x4，x5成等差数列得出一个关于p，q的等式，结合x1＝3推出2p＋q＝3，从而得p，q. [解]　由x1＝3，得2p＋q＝3，① 又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q， 且x1＋x5＝2x4得， 3＋25p＋5q＝25p＋8q，② 由①②得，q＝1，p＝1. [规律方法]　 在等差数列{an}中，由定义有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*(，即an＝，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. [跟踪训练] 1．在与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列． [解]　(1)∵－1，a，b，c,7成等差数列， ∴b是－1与7的等差中项， ∴b＝＝3. 又a是－1与3的等差中项， ∴a＝＝1. 又c是3与7的等差中项，∴c＝＝5， ∴该数列为－1,1,3,5,7. 等差数列的性质及应用 　(1)等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，求2a9－a10的值； (2)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式； (3)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值． [思路探究]　(1)利用等差中项求解； (2)利用m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq求解； (3)利用d＝求解． [解]　(1)由等差数列的性质，得 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120， ∴a8＝24，又2a9＝a8＋a10， ∴2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24. (2)∵a2＋a8＝2a5，∴3a5＝9， ∴a5＝3， ∴a2＋a8＝a3＋a7＝6，① 又a3a5a7＝－21， ∴a3a7＝－7.② 由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1. ∴a3＝－1，d＝2，或a3＝7，d＝－2. 由通项公式的变形公式an＝a3＋(n－3)d， 得an＝2n－7或an＝－2n＋13. (3)∵a60＝a15