必修5 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式-2021-2022学年高中数学高二上册【名师导航】同步Word教参(苏教版)

2．2　等差数列 2．2.1　等差数列的概念 2．2.2　等差数列的通项公式 第1课时　等差数列的概念及通项公式 学习目标：1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)2.会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)3.等差数列的证明及其应用．(难点) 1．等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示． 2．等差数列的通项公式 对于等差数列{an}的第n项an，有an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d. [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列． (　　) (2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列． (　　) (3)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，这个数列就叫等差数列． (　　) (4)一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若{an}是等差数列，且a1＝1，公差d＝3，则an＝________. [解析]　∵a1＝1，d＝3，∴an＝1＋(n－1)×3＝3n－2. [答案]　3n－2 3．若{an}是等差数列，且a1＝2，d＝1，若an＝7，则n＝________. [解析]　∵a1＝2，d＝1， ∴an＝2＋(n－1)×1＝n＋1. 由an＝7， 即n＋1＝7，得n＝6. [答案]　6 等差数列的判定与证明 　判断下列数列是否为等差数列． (1)在数列{an}中，an＝3n＋2； (2)在数列{an}中，an＝n2＋n. [思路探究]　―→―→ [解]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列． (2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列． [规律方法]　 1．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为： (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． 2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变． 提醒：当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d. [跟踪训练] 1．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定． (1)求证：数列是等差数列； (2)当x1＝时，求x2 017. [解]　(1)因为f(x)＝，数列{xn}的通项xn＝f(xn－1)， 所以xn＝是等差数列．，所以＝－，所以＋＝，所以 (2)x1＝.，所以x2 017＝，所以xn＝(n－1)＝＝2＋＝2，所以时， 等差数列的通项公式 　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31. (1)求{an}的通项公式； (2)若an＝13，求n的值． [思路探究]　建立首项a1和d的方程组求an；由an＝13解方程得n. [解]　(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意 可知∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.解得 (2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6. [规律方法]　 1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”． 2．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形an＝am＋(n－m)d. [跟踪训练] 2．已知递减等差数列{an}前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ [解]　依题意得 ∴ 解得或 ∵数列{an}是递减等差数列， ∴d<0.故取a1＝11，d＝－5. ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16， 即等差数列{an}的通项公式为 an＝－5n＋16. 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. ∴－34是数列{an}的第10项. 等差数列的应用 [探究问题] 1．若数列{an}满足＋1且a1＝1，则a5如何求解？＝ [提示]　由＝1.－＋1可知＝ ∴{＝1，公差d＝1的等差数列．}是首项 ∴＝1＋(n－1)×1＝n， ∴an＝n2， ∴a5＝52＝25. 2．某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第