专题03 对称、切线、最值与范围-【备考集训】2021-2022学年高二数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019选择性必修第一册)

专题03 对称、切线与最值范围 训练卷评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结 1.对称：一般用到“光学性质”：光走的路线最短。所以要找对称点。如第1、2题 2.切线: （1）两圆公切线。如第3题。 （2）利用切线找交点，如第4题； （3）切点弦。如第5题 （4）切线长与最值。如第6题 3.最值与范围： （1）直线倾斜角，如第7题。 （2）构造距离公式转化计算，如第8题 （3）圆的弦长最值，如第9题 （4）与圆有关的面积最值，如第10题 专题集训题选 1.已知直线：，：，直线垂直于，，且垂足分别为A，B，若，，则的最小值为（ ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】 根据条件设出直线l3的方程，求出点A，B坐标，用m表示出，再借助几何意义即可计算得解. 【详解】 因直线垂直于，，则设直线l3的方程为：， 由得点，由得点，而，， 于是得， 而表示动点到定点与的距离的和， 显然，动点在直线上，点与在直线两侧，因此，， 当且仅当点M是直线与线段EF：的交点，即原点时取“=”，此时m=0， 从而得取最小值， 所以，当直线l3方程为：时，取最小值.故选：C 2.已知等腰直角三角形三个顶点，和，P为的中点，一质点从点P出发，经，反射后又回到点P（如图），则的周长为（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】 先求出直线的方程，分别求出点关于直线，的对称点，由对称性可得答案. 【详解】 由题意可知，，记P关于对称的点为，设P关于对称的点为， 所以 ，解得，所以。由对称性知，， 所以，易知当，Q，R，四点共线时，的值最小. 所以.故选：C 3.已知圆，圆，则下列不是，两圆公切线的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点，另两条切线与直线平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得解 【详解】 由题意，圆的圆心坐标为，半径为 圆的圆心坐标为，半径为 如图所示，两圆相离，有四条公切线. 两圆心坐标关于原点对称，则有两条切线过原点， 设切线，则圆心到直线的距离，解得或， 另两条切线与直线平行且相距为1，又由，设切线，则，解得， 结合选项，可得D不正确.故选：D 4.已知曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【分析】 先化简曲线方程得到曲线为以为圆心，半径为1的上半圆，直线恒过点，画出图像，求解两个临界状态，过和两点的直线斜率，以及设过且与半圆相切的直线斜率，数形结合即得解 【详解】 由曲线可得 为以为圆心，半径为1的上半圆 直线kx−y+k−1=0过点，如图 过和两点的直线斜率； 设过的直线与半圆相切，结合图像可知，显然斜率存在，故圆心到直线的距离等于半径，即 解得或（舍去，与下半圆相切） 结合图像，故要使曲线y=与直线kx−y+k−1=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 故答案为： 5.已知点P为直线上任意一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线恒过的定点的坐标为_________. 【答案】 【分析】 设，由P，A，O，B四点共圆， 可得圆的方程为：，将其与已知圆相减可得直线的方程，从而即可求解直线恒过的定点的坐标. 【详解】 解：由题意，设，易知P，A，O，B四点共圆，为直径， 所以圆的方程为：， 将两圆方程作差可得，直线的方程为， 即， 所以直线恒过的定点为， 故答案为：. 6.已知圆：与圆：，过动点分别作圆、圆的切线、（、分别为切点），若，则的最小值是________． 【答案】 【分析】 由已知分析可得，P在线段的垂直平分线上，根据圆心坐标，利用中点公式和直线垂直的斜率关系求得垂直平分线方程，即为P的轨迹方程，将看成两点间的距离，利用点到直线的距离的意义和点到直线的距离公式求得的所求的最小值. 【详解】 由于与中，，，∴与全等，∴有， 则在线段的垂直平分线上，根据、，直线的斜率为,∴线段的垂直平分线的斜率为,的的中点坐标为,∴其垂直平分线为,即， ∵表示、两点间的距离，∴最小值就是到的距离， 利用点到直线的距离公式可求出最小值．故答案为：. 7.直线的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】 【分析】 首先求直线的斜率，分和两种情况，结合基本不等式，求斜率的取值范围，可得倾斜角的取值范围. 【详解】 直线的斜率为， ①当时，； ②当时，， 可得且． 由①②，有， 可得直线的倾斜角的取值范围是． 8.某同学在研究函数的最值时，联想到两点间的距离公式，从而将函数变形为，则下列结论正确的是（ ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数没有最大值 D．函数有最大值 【答案】B