第一章 1.2 空间向量基本定理（学案）-【成才之路】2021-2022学年高中新教材数学选择性必修第一册新课程同步学习指导（人教A版）

数学（选择性必修·第一册 RJA） B1C →·A1P→ = (A1A→ + AD→)· AD→ + 12 AB →( )= AD→2 = 1. 由题意可得 PA1 = B1C = 2,则 2 × 2 × cos〈B1C →,A1P→〉 = 1, 即 cos〈B1C →,A1P→〉 = 12 ,从而〈B1C →,A1P→〉 = 60°. 1. 2　 空间向量基本定理 必备知识·探新知 　 　 知识点 1　 不共面　 xa + yb + zc　 基底 思考 1:不能. 零向量与任意两个向量 a,b 都共面. 　 　 知识点 2　 1. 两两垂直　 1 　 　 知识点 3　 (1)a = λb　 (2)p = xa + yb 思考2:平行和点共线都可以转化为向量共线问题;点线共面可以转 化为向量共面问题. 　 　 知识点 4　 (1)cos θ = a·b| a | | b | 　 (2)a·b = 0　 思考 3:几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题, 解题中要注意角的范围. 思考 4:几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模,用数量积可 以求得. 关键能力·攻重难 题型探究 　 　 典例 1:(1)C　 如图所示,令 a = AB→, b = AA1 →,c = AD→, 则 x = AB1 →,y = AD1→,z = AC→,a + b + c = AC1 →. 由于 A,B1,C,D1 四点不共面,可知向 量 x,y,z 也不共面, 同理 b,c,z 和 x,y,a + b + c 也不共面,由于 A,B,B1,A1 四点共面知 a,b,x 共面,故选 C. (2)设OA→ = x OB→ + y OC→,则 e1 + 2e2 - e3 = x( - 3e1 + e2 + 2e3 ) + y(e1 + e2 - e3), 即 e1 + 2e2 - e3 = (y - 3x)e1 + (x + y)e2 + (2x - y)e3, ∴ y - 3x = 1, x + y = 2, 2x - y = - 1, { 此方程组无解. 即不存在实数 x,y,使得OA→ = x OB→ + y OC→, 所以OA→,OB→,OC→不共面. 所以{OA→,OB→,OC→}能作为空间的一个基底. 　 　 对点训练 1:假设 a + b,b + c,c + a 共面,则存在实数 λ,μ,使得 a + b = λ(b + c) + μ(c + a),即 a + b = μa +λb + (λ + μ)c. ∵ {a,b,c}是空间的一个基底,∴ a,b,c 不共面. ∴ 1 = μ, 1 = λ, 0 = λ + μ, { 此方程组无解. 即不存在实数 λ,μ,使得 a + b = λ(b + c) + μ(c + a), ∴ a + b,b + c,c + a 不共面. 故{a + b,b + c,c + a}能作为空间的一个基底. 　 　 典例 2: 连 接 BO, 则 BF→ = 12 BP → = 1 2 (BO → + OP→) = 12 ( c - b - a) = - 1 2 a - 1 2 b + 1 2 c. BE→ = BC→ + CE→ = BC→ + 12 CP → = BC→ + 1 2 (CO → + OP→) = - a - 12 b + 1 2 c. AE→ = AP→ + PE→ = AO→ + OP→ + 12 (PO → + OC→) = - a + c + 12 ( - c + b) = - a + 1 2 b + 1 2 c. EF→ = 12 CB → = 12 OA → = 12 a. 　 　 对点训练 2:(1)DB1 → = DC→ + CB1→ = DC→ + BB1→ - BC→ = a - b + c. BE→ = BA→ + AA1→ + A1E→ = - a + 12 b + c. AF→ = AB→ + BF→ = a + 12 (b + c) = a + 1 2 b + 1 2 c. (2)DD1 → + DB→ + CD→ = DD1→ + (CD→ + DB→) = DD1 → + CB→ = DD1→ + D1A1→ = DA1→. 如图,连接 DA1,则DA1 →即为所求. 　 　 典例 3:证明:设AB→ = a,AA1→ = b,AD→ = c, 则EF→ = EB1→ + B1F→ = 12 (BB1 → + B1D1→) = 12 (AA1 → + BD→) = 12 (AA1 → + AD→ - AB→) = 12 ( - a + b + c),AB1 → = AB→ + BB1→ = AB→ + AA1→ = a + b. 所以EF→·AB