专题09 一元二次方程根与系数的几种应用-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略（湘教版）

专题09 一元二次方程根与系数的几种应用 【基础知识点】 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根，分别为：, 当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即。 【类型一】已知方程一根，求另一根及待定系数 【例1】已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值． 解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－， ∴x1＝－.又∵x1＋2＝－， ∴－＋2＝－，∴k＝－7. 方法总结：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)，当已知二次项系数和常数项时，可求得方程的两根之积；当已知二次项系数和一次项系数时，可求得方程的两根之和． 【变式训练】已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值． 解：设方程的另一根为x1，则－3x1＝，∴x1＝.∴x1＋(－3)＝＋(－3)＝－，解得k＝3.∴另一根为，k的值为3. 【类型二】已知方程，求有关两根的代数式的值 【例2】设方程＝的两根为，，不解方程求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【解析】先根据根与系数的关系得到，，再利用代数式变形得到＝，，（3）＝，然后利用整体代入的方法计算． :解：（1）＝＝； （2）； （3）＝． 【变式训练】不解方程， （1）求此方程的两根的倒数和． （2）求两根差的平方． 【解析】方程，由根与系数关系得，，再把所求式子变形为含有，的形式即可求解． 解：（1）∵ ，由根与系数关系得： ，， ∴ ； ，，． 【类型三】已知两个方程，求含两个未知数的代数式的值 【例3】已知，，求________． 【答案】或 【解析】∵ ，， ∴ ，是方程的两个根， ∴ ，或，， ∴ 或； 【变式训练1】设，是一元二次方程的两个根，则________. 【答案】 【变式训练2】设、分别为一元二次方程的两个实数根，则________. 【答案】  【变式训练3】已知实数、满足方程且，则的值为________. 【答案】 【类型四】已知两根，求一元二次方程 【例4】若两个数的和为，积为，则以这两个数为根的一元二次方程是（        ） A. B. C. D. 【答案】C 【变式训练】以和为根且二次项系数为的一元二次方程是________． 【答案】 【解析】设方程为 ：二次项系数为的方程 ，即 又：方程的两个根为和 . . ∴ 方程为 【类型五】已知方程，求字母系数的取值范围 【例5】已知关于的一元二次方程 求证：方程总有两个实数根； 若方程两根互为相反数，求的值． 【解析】（）计算判别式的值得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据题意，利用根与系数的关系得到，即可求得 【解答】（）证明：∵ ∴ 方程总有两个实数根； （2）∵ 关于的一元二次方程∴ 方程两根的和为∵ 方程两根互为相反数，∴ ∴ ∴ 【变式训练1】关于的一元二次方程的两个实数根. 求的取值范围． 当时，求的值． 【解析】（1）根据根的判别式大于零求解即可； （2）先求出，然后把变形为，再把代入求解即可； 【解答】（1）解：根据题意得： ＝， ∴ 的取值范围是． （2） . . ， 由（1）可知，故舍去， 【变式训练2】已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若是负整数，求实数的整数值． 【解析】（1）根据一元二次方程的定义及一元二次方程的解与判别式之间的关系解答即可； （2）根据根与系数的关系可得，由是是负整数，即 可得是正整数．根据是整数，即可求得的值． 【解答】解：（1）原方程有两实数根， 所以 解得且. （2）是关于的一元二次方程的两个实数根， . ∴ 是负整数，即是正整数． 是整数， ∴ 的值为、、或， 的值为、、或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题09 一元二次方程根与系数的几种应用 【基础知识点】 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根，分别为：, 当Δ≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有以下关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比.即。 【类型一】已知方程一根，求另一根及待定系数 【例1】已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一根及k的值． 【变式训练】已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值． 【类型二】已知方程，求有关两根的代数式的值 【例2】设方程＝的两根为，，不解方程求下列各式的值． （1）； （2）； （3）． 【变