专题08 一元二次方程与三角形综合的四种综合应用-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略（湘教版）

专题08 一元二次方程与三角形综合的四种综合应用 【基础知识点】 一元二次方程是初中数学的重要内容之一，常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种。 【类型一】一元二次方程与三角形三边关系的综合 【例1】三角形两边的长是和，第三边满足方程＝，则三角形周长为（ ） A. B. C.或 D.以上都不对 【答案】A 【解析】解方程得： 当三边为、、时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，此时三角形的周长为 当三边为、、时，，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形， 即三角形的周长是， 【变式训练1】三角形的两边分别和，第三边是方程的解，则三角形周长为（ ） A. B. C.或 D.不能确定 【答案】B 【解析】方程，变形得： 解得： 若三角形三边为，不合题意，舍去， 则三角形的周长为 【变式训练2】若方程的三个根可以作为一个三角形的三边之长，则的取值范围：________． 【答案】 【解析】∵ ， ∴ 或，∴ 原方程的一个根为， 设的两根为、， 则，，， 又∴ ， ∴ ，解得，∴ ． 【变式训练3】已知一个三角形的两边长为和，若第三边长是方程＝的一个根，则这个三角形周长为________，面积为________． 【答案】, 【解析】解方程＝，得＝，＝，即第三边的边长为或． ∵ 第三边的边长， ∴ 第三边的边长为． ∴ 这个三角形的周长是＝． 又＝，∴ 此三角形是直角三角形， ∴ 这个三角形的面积是：＝． 【类型二】一元二次方程与直角三角形的综合 【例2】已知直角三角形的两条边长分别是方程的两个根，则此三角形的第三边是（ ） A.或 B.或 C.或 D. 【答案】B 【解析】解：解方程得 当为直角边时，第三边 当为斜边长时，第三边  【变式训练1】己知等腰直角三角形斜边上的高为方程的一个根，那么这个直角三角形斜边的边长为          A. B. C.或 D.无法确定 【答案】B 【解析】方程因式分解得：， 解得：或（舍去）， ∴ 等腰直角三角形斜边上的高为，即为斜边上的中线， 则这个直角三角形斜边的边长为． 【变式训练2】设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【解析】，是一个直角三角形两条直角边的长，设斜边为，， 根据勾股定理得：， 即. ∵ ， ∴ ， 解得或（舍去）． 则这个直角三角形的斜边长为. 【变式训练3】若方程的两根恰好是的两条边的长，则的第三边长为________． 【答案】或 【解析】方程的两个根是和， 也就是的两条边的长是和． 设第三边长为， 当和都是直角边时，； 当为斜边时，． 故第三边长是或． 【类型三】一元二次方程与等腰三角形的综合 【例3】方程的两个根是等腰三角形的底边和腰长，则三角形的周长为         A. B. C. D.或 【答案】C 【解析】先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为，腰为，然后计算这个等腰三角形的周长． 【变式训练1】若等腰三角形的两边分别是方程的两个根，则的周长为（        ） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【变式训练2】方程的两个根分别为，则的值为________；若方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长是________. 【答案】,或 【变式训练3】若等腰三角形底边长为，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长________． 【答案】 【解析】求出方程的解，得出两种情况，看看是否符合三角形三边关系定理，求出即可． 【类型四】一元二次方程与动态几何的综合 【例4】如图，中，＝，＝，＝，点从沿边向点以的速度移动，在点停止，点从点开始沿边向点以的速度移动，在点停止． （1）如果点，分别从、同时出发，经过几秒钟，使＝？ （2）如果点从点先出发，点再从点出发，经过几秒钟后＝？ （3）如果点、分别从、同时出发，经过几秒钟后＝？ 解：（）、同时出发，经过秒钟， ， 由题意得： ， ∴ ， 解得： ， 经秒点到离点处，点离点处，经秒点到离点 处，点到离点 处，经验证，它们都符合要求． 答：、同时出发，经过秒或秒， . （2） 设出发秒时，则运动的时间为秒，由题意得： ， ∴ ， 解得： . 因此经秒点离点 ，点离点，符合题意． 答：先出发秒，再从出发，经过秒后. （3） 设经过秒钟后，则 ， ，, 解得： ， （不合题意，舍去）. 答：经过秒钟后. 【变式训练1】如图，在中．，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动。