2．1.2　两条直线平行和垂直的判定 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

2．1.2 两条直线平行和垂直的判定 课程标准 素养解读 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件 2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直 3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题 通过对两条直线平行与垂直的学习，提升直观想象、逻辑推理和数学运算的数学素养 [情境引入] 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？ [知识梳理] [知识点一]　两条直线平行与斜率之间的关系　 　设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k1，k2.则对应关系如下： 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线斜 率都　不存在　 图示 1.如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？ [提示]　不一定．只有在两条直线的斜率都存在的情况下斜率才相等． [知识点二]　两条直线垂直与斜率之间的关系 　 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率　不存在　，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2. 图示 2.如果两条直线垂直，则它们的斜率的积一定等于－1吗？ [提示]　不一定．若两条直线的斜率都存在，它们垂直时斜率之积是－1，若两条直线垂直时，还可能它们的斜率一个是0，另一个不存在． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．(　　) (2)若l1∥l2，则k1＝k2.(　　) (3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．(　　) (4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知直线l1的斜率k1＝2，直线l2的斜率k2＝－，则l1与l2(　　) A．平行　　　　　　 B．垂直 C．重合 D．非以上情况 解析：B　[∵k1·k2＝2×＝－1，∴l1⊥l2.] 3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝　________　. 解析：∵kl2＝＝－1，l1∥l2，∴kl1＝＝－1，∴m＝0. 答案：0 　　　两条直线平行的判定 [例1]　判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． [思路点拨]　斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1＝k2进行判断，若两直线斜率都不存在，可通过观察并结合图形得出结论． 解：(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1，则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线．故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 　判断两直线是否平行的步骤 [变式训练] 1．下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有　________　.(填序号) ①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； ②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； ③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1，)，N(－2，－2)； ④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6)． 解析：①∵kAB＝＝－，kCD＝＝－，∴kAB＝kCD，∴l1∥l2. ②∵kl2＝＝1≠kl1＝2，∴l1不平行于l2. ③∵kl1＝tan 60°＝，kl2＝＝，∴kl1＝kl2，∴l1∥l2，或l1与l2重合． ④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2. 答案：①③④ 　　　两条直线垂直关系的判定 [例2]　(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； (2)已知直线l1经过点A(3，a)，