1．1.2　空间向量的数量积运算 -2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步教师用书（人教A版）

1．1.2 空间向量的数量积运算 课程标准 素养解读 1.了解空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律 3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度 1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养 2.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养 [情境引入] 如果一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W＝F×S＝|F||S|cos θ，为了在数学中体现“功”的这样一个标量，我们引入了“数量积”的概念． [知识梳理] [知识点一]　空间向量数量积的概念　 1．定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b. 2．数量积的运算律 数乘向量与向量数量 积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 1.空间向量的数量积运算为什么不满足结合律？ [提示]　数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)．这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线． 3．空间向量的夹角 ①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则　∠AOB　叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈[0，π]．特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b. [知识点二]　空间向量的数量积的性质　 　两个向 量数量 积的性 质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 ②若a与b同向，则a·b＝|a|·|b|；若反向，则a·b＝－|a|·|b|. 特别地，a·a＝|a|2或|a|＝ ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ ④|a·b|≤|a|·|b| 2.(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？ (2)若a·b>0，则〈a，b〉一定是锐角吗？ [提示]　(1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0. (2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b>0，故当a·b>0时，〈a，b〉不一定是锐角． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) (2)对于向量a，b，c，有(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　) (3)对任意向量a，b，满足|a·b|≤|a||b|.(　　) (4)对于非零向量b，由a·b＝b·c，可得a＝c.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b＝a·c，则b＝c 解析：B　[对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．] 3．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝， 则cos〈a，b〉＝　________　.　　 解析：将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝， 再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，求得cos〈a，b〉＝. 答案： 　　　数量积的计算 [例1]　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·；　(2)·；　 (3)·；　 (4)·. [思路点拨]　计算两向量的数量积首先确定两向量的夹角，要注意向量的方向及夹角的范围． 解：(1)·＝·＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝·＝||·||·cos〈，〉＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－)＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 在几何体中求空间向量的数量积的步骤 (1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式． (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积． (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模． (4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解． [变式训练] 1．(1)已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·＝　________　. 解析：·＝· ＝(·＋·) ＝(a2cos 60°＋a2cos 60°)＝a2. 答案：a2 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，