专题14 探索勾股定理 -【重难点突破】2021-2022学年八年级数学上册期中期末专题抢先看（浙教版）

专题14 探索勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。 变式：，，,,. 适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： 1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 勾股定理的证明方法： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 知识点二 勾股数 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 常见的勾股数：如；；；等 扩展：用含字母的代数式表示组勾股数： 1）（为正整数）； 2）（为正整数） 3）（，为正整数） 注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边 【注意】 1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； 2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 考查题型一 利用勾股定理理解三角形 典例1．（2020·山东垦利区期末）直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 变式1-1．（2020运城市期中）已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．12 B．7+ C．12或7+ D．以上都不对 变式1-2．（2020·大庆市年级期末）如图，在中，，，，点到的距离是（ ） 变式1-3．（2020·大庆市七年级期末）已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为（　　） A．3 B．6 C．8 D．5 考查题型二 已知两点坐标求两点之间的距离 典例2．（2020·古冶区八年级期中）如图，在直角坐标系中，有两点和，则这两点之间的距离是( ) A． B．13 C． D．5 变式2-1．（2020·山西兴县·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（　　） A． B．2﹣ C．﹣ D．﹣2 变式2-2．（2020·天津河西区期末）如图，点，点，则的长度为（ ） A． B． C． D． 变式2-3．（2020·上海市市八年级期末）式子可以理解为（ ） A．两点与间的距离 B．两点与间的距离 C．两点与间的距离 D．两点与间的距离. 考查题型三 勾股树（数）问题 典例3．（2020·江苏泰兴市期末）下列各组数是勾股数的是(　　) A．6，7，8 B．1，，2 C．5，4，3 D．0.3，0.4，0.5 变式3-1．（2020·河南新乡市期末）如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3，则最大正方形E的边长是（　　） A．13 B． C．47 D． 变式3-2．（2020·陕西韩城市期末）以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ） A．6 B．36 C．64 D．8 变式3-3．（2020·民勤县八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（ ） A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算 考查题型四 勾股定理与网格问题 典例4．（2020·叶县期末）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A． B． C． D． 变式4-1．（2020·福建宁化市八年级期中）如图所示,如果把△ABC的顶点A先向下平移3格,再向左平移1格到达A'点,连接A'B,则线段