1.5 全称量词与存在量词(Word课时作业)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

(建议用时：40分钟) 1．下列语句是全称量词命题的是(　　) A．2n是偶数 B．2n不是偶数 C．存在n∈Z，使2n是偶数 D．对任意n∈Z,2n是偶数 答案　D 解析　A，B项既不是全称量词命题也不是存在量词命题；C项中含有存在量词，是存在量词命题；D项中含有全称量词，是全称量词命题．故选D项． 2．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是(　　) A．∃x∈R，x2≥0 B．∀x∈R，x2＜0 C．∃x∈R，x2＜0 D．∃x∈R，x2≤0 答案　C 解析　否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，故C项正确．故选C项． 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　) A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 答案　A 解析　既要否定结论，又要改变量词，只有A项正确．故选A项． 4．下列全称量词命题中为真命题的是(　　) A．所有的自然数都是正数 B．∀x∈R，x2＋1≥1 C．对每一个无理数x，x2也是无理数 D．所有实数的绝对值均为正数 答案　B 解析　0是自然数，但不是正数，故A项错误；x＝为无理数，但x2＝2为有理数，故C项错误；0的绝对值是0，故D项错误．故选B项． 5．下列四个存在量词命题中是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使x－x2＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 答案　B 解析　A项中，，所以x2＋x＋1＝0无解；C项中，素数2是偶数；D项中，0没有倒数．所以A，C，D项都是真命题，B项是假命题．故选B项．≥2＋或x＝0；B项中，x2＋x＋1＝x－x2＝0的根为x＝ 6．命题“对于任意的实数x，y，x2＋y2≥0恒成立”，用符号表示为____________. 答案 ∀x，y∈R，x2＋y2≥0 7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)＞0”用“∃”或“∀”可表述为____________. 答案 ∃x＜0，(1＋x)(1－9x)＞0 8．判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)∃x，y∈Z,3x－4y＝20； (2)在实数范围内，有些一元二次方程无解； (3)正数的平方都是正数． 解析 (1)真命题，命题的否定为“∀x，y∈Z,3x－4y≠20”． (2)真命题，命题的否定为“在实数范围内，所有的一元二次方程都有解”． (3)真命题，命题的否定为“存在一个正数，它的平方不是正数”． 9．(1)已知对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，求实数m的取值范围． (2)已知存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，求实数m的取值范围． 解析 (1)由于对任意的x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，即m≥3.故实数m的取值范围为{m|m≥3}． (2)由于存在实数x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，即m≥1.故实数m的取值范围为{m|m≥1}． 10．(多选)下列关于二次函数y＝(x－2)2－1的说法正确的是(　　) A．∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥1 B．∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a C．∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a D．∃x1≠x2，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1 答案　BD 解析　对于二次函数y＝(x－2)2－1，其图象开口向上，对称轴为直线x＝2，最小值为－1，所以∀x∈R，y＝(x－2)2－1≥－1，所以A项错误；∀a>－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1<a，所以B项正确；∀a<－1，∃x∈R，y＝(x－2)2－1＝a不成立，所以C项错误；当x1＝0，x2＝4时，(x1－2)2－1＝(x2－2)2－1，所以D项正确．故选BD项． 11．已知命题“∃m∈R，使关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根”是真命题，则实数m满足的条件是___________________． 解析 由题意得解得m＞2. 答案 m＞2 12．由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，得m满足的条件是m＞a，求实数a的值． 解析 因为“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，所以“对任意x∈R，都有x2＋2x＋m＞0”是真命题，因此Δ＝4－4m＜0，即m＞1，故a＝1. 13．已知p：当1≤x≤2时，x2－a≥0，q：∃x∈R，x2＋2x＋a－2＝0.若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围． 解析 p为真命题时，x2－a≥0，即a≤x2. 因为1≤x≤2时，上式恒成立，而1≤x2≤4，所以a≤1. q为真命题时，Δ＝4－4(a－2)≥0，即a≤3. 因为命题p，q均为真命题，所以a≤1. 故实数a的取