2.2 基本不等式(Word课时作业)-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学必修第一册（人教A版）

(建议用时：40分钟) 1．设函数f(x)＝x＋(x＞0)，则f(x)的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 答案　D 解析　因为x＞0，所以f(x)＝x＋，即x＝3时，f(x)min＝6.故选D项．＝6，当且仅当x＝≥2 2．已知a，b∈R，M＝a2＋b2，N＝2|ab|，则M，N的大小关系为(　　) A．M≥N B．M＝N C．M≤N D．M＞N 答案　A 解析　由基本不等式得a2＋b2＝|a|2＋|b|2≥2|a||b|＝2|ab|，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立．故选A项． 3．若a，b，c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是(　　) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞c＞b 答案　C 解析　因为a，c均为正数，且a≠c，所以a2＋c2＞2ac，又因为a2＋c2＝2bc，所以2bc＞2ac.因为c＞0，所以b＞a，可排除A，B，D项，取a＝2，c＝1，可得b＝，可知C项可能成立．故选C项． 4．已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案　B 解析　由题意得y＝，即x＝4时，等号成立，所以x＋4y的最小值是8.故选B项．＝8，当且仅当x＝≥2，则x＋4y＝x＋ 5．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是(　　) A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m 答案　C 解析　设直角三角形框架的两条直角边长为x，y(x>0，y>0)，则三角形的面积≈6.83，当且仅当x＝y时，等号成立，故用7米的铁丝最合适．故选C项．≥4＋2，所以三角形框架的周长C＝x＋y＋＝2≥＝4，，因为x＋y≥2＝2，即xy＝4，直角三角形的斜边长为 6．若正实数a，b，c满足3a－2b＋c＝0，则的最大值为________． 解析 因为3a＋c＝2b，且a，b，c为正实数，所以2b＝3a＋c≥2. ＝≤，当且仅当3a＝c时，等号成立，所以 答案 7．已知a＞b＞c，则的大小关系是__________. 与 解析 因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，所以，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时，等号成立． ≥＝ 答案 ≤ 8．设a，b，c都是正数，求证：≥a＋b＋c. ＋＋ 证明 因为a，b，c都是正数，所以也都是正数． ，， 所以≥2b， ＋≥2a，＋≥2c，＋ 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．＋＋ 9．设函数f(x)＝(x>0)． (1)求f(x)的最大值； (2)证明：对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋. 解析 (1)f(x)＝时，等号成立． ，即x＝2，当且仅当x＝＝2≤＝ 所以f(x)的最大值为2. (2)证明：b2－3b＋2＋3， ＝ 当b＝有最小值3， 时，b2－3b＋ 由(1)知，f(a)有最大值2＜3， ，而2 所以对任意实数a，b，恒有f(a)<b2－3b＋. 10．已知a>0，b>0，若不等式恒成立，则m的最大值等于(　　) ≥＋ A．10 B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0，所以要使＋1≥4＋4＋1＝9，当且仅当a＝b时，等号成立．所以m≤9.故选B项．＋＝4＋恒成立．又(2a＋b)恒成立，只需m≤(2a＋b)≥＋ 11．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是______(写出所有正确命题的序号)． ①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； ≤＋ ⑤≥2. ＋ 解析 对于命题①，2＝a＋b≥2≥2，⑤正确． ＝＝＋⇒ab≤1，①正确；对于命题②，令a＝1，b＝1时不成立，②错误；对于命题③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；对于命题④，令a＝1，b＝1时不成立，④错误；对于命题⑤， 答案 ①③⑤ 12．某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入．维护设备的正常运行，第一年各种费用为10万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加10万元． (1)求该设备给企业带来的总利润y万元与使用年数x(x∈N*)的函数关系； (2)这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？最大年平均利润是多少？ 解析 (1)由题意知，x年总收入为100x万元， x年维护总费用为10(1＋2＋3＋…＋x)＝5x(x＋1)万元， 所以总利润y＝100x－5x(x＋1)－180，x∈N*， 即y＝－5(x2－19x＋36)，x∈N*. (2)年平均