1.4.2 第2课时 用空间向量研究夹角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【提分教练】同步Word教参(人教A版)

第2课时　用空间向量研究夹角 素养目标 新知索骥 1．理解直线与平面所成角的概念．(直观想象) 2．会用向量法求直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角．(逻辑推理、数学运算) 知识点　空间角的向量求法 角 向量求法 与相应向量 夹角的关系 范围 异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 与〈u，v〉相 等或互补 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝ 平面与平面的 夹角 设平面α，β的法向量分别是n1和n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝ 与〈n1，n2〉 相等或互补 【微训练】 1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° C　解析：二面角的大小与法向量的夹角相等或互补． 2．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点．若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小是________． 90°　解析：因为A1B1⊥平面BCC1B1， 所以A1B1⊥MN． 因为＝0，·＋·＝)·＋＝(· 所以MP⊥MN，即∠PMN＝90°． 求异面直线所成的角、求线面角 【例1】 如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ．当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 解：由于AC＝BC＝2，D是AB的中点， 所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 在Rt△VCD中，当θ＝)．，所以V(0,0，时，CD＝ 所以)．＝(1,1，－＝(－2,0,0)， 所以cos〈．＝－＝〉＝， 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为． 【例2】 如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小． 解：设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)， 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)． 又AN＝AB，M，S分别为PB，BC的中点， 所以N．，S，M (1)证明：，＝，＝ 所以＝0．·＝· 因此CM⊥SN． (2)．＝ 设a＝(x，y，z)为平面CMN的法向量， 所以·a＝0．·a＝0， 则所以 取y＝1，得a＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量． 因为cos〈a，，＝－〉＝ 所以〈a，π．〉＝ 所以SN与平面CMN所成的角为．＝π－ 1．用几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再解三角形来求解，过程比较复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可． 2．由于两异面直线夹角θ的取值范围是，而两向量夹角α的范围是[0，π]，故应有cos θ＝|cos α|，求解时要特别注意． 3．若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下： 1．已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE，SD所成的角的余弦值为(　　) A． 　 D．　 C．　 B． C　解析：依题意，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示，设四棱锥S-ABCD的棱长为， 则A(0，－1,0)，B(1,0,0)，S(0,0,1)，D(－1,0,0)， 所以点E坐标为， 所以＝(－1,0，－1)，，＝ 所以|cos〈，＝〉|＝， 故异面直线AE，SD所成角的余弦值为． 2．在正四棱锥SABCD中，SA＝AB＝2，求直线AC与平面SBC所成角的正弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 由题意得A(1，－1,0)，C(－1,1,0)，B(1,1,0)，S(0,0，)． 所以)．＝(1，－1，)，＝(－1，－1，＝(－2,2,0)， 设平面SBC的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 令z＝，得x＝0，y＝2， 所以n＝(0,2，)为平面SBC的一个法向量． 设直线AC与平面SBC所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，．＝〉|＝ 求二面角 探究题1　在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为(0，－1,3)，(2,2,4)，则这个二面角的余弦值为________．