专题07 根的判别式的几种常见应用-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略（湘教版）

专题07 根的判别式的几种常见应用 【基础知识点】 我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式，通常用符号“Δ”表示.即：Δ=b2-4ac ⑴当Δ=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即，. ⑵当Δ=b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根. ⑶当Δ=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根. (4)当Δ=b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根. 【类型一】利用根的判别式判断不含待定字母的方程的根情况 【例1】不解方程判定下列方程的根的情况：3x2+4x-3=0 解：因为Δ=b2-4ac=42-4×3×（-3）=52>0 所以，原方程有两个不相等的实数根 【变式训练】不解方程判定下列方程的根的情况：x2=12x-9 解：将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0 因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0 所以，原方程有两个相等的实数根. 【类型二】利用根的判别式判断含待定字母的方程的根情况 【例2】已知关于的一元二次方程求证：无论上取何值，方程都有两个不相等的实数根． 证明：∵ ， ∴ 无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．  【变式训练】2. 设关于的方程. 求证：不论为何值，这个方程总有两个不相等的实数根.  证明：∵  ，，， ∴ .    . ∵  ， ∴  ，  ∴ 不论为何值，这个方程总有两个不相等的实数根. 【类型三】利用根的判别式求方程中待定字母的值 【例3】m取什么值时，关于x的方程x2－2x＋m－2＝0有两个相等的实数根？ 解：∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×(m－2)＝12－4m. 又∵方程有两个相等的实数根．∴b2－4ac＝0， 即12－4m＝0. 解得m＝3. 【变式训练】已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求、的值。 解：m=2,n=3 【类型四】利用根的判别式确定三角形的形状 【例4】已知是的三边长，关于的一元二次方程有两个相等的实数根，关于的方程的根为． （1）试判断的形状； （2）若是关于的一元二次方程的两个实数根，求的值． 解：（1）关于的一元二次方程有两个相等的实数根 . . 又：关于的方程的根为 . 即是等边三角形． （2），是关于的一元二次方程的两个实数根 又由（1）知. 方程有两个相等的实数根， . 解得或 当时，方程可化为， 解得 又由，．是的三边长，得故不符合题意： 当时，方程可化为 解得 可知符合题意． 故的值为  【变式训练】已知，，分别是中所对的边，且关于工的方程有两个相等的实数根，请通过计算判断的形状． 解：∵ 方程有两个相等的实数根，∴ ， 则化简，整理得， ∴ 或， ∴ 是等腰三角形． 【类型五】利用根的判别式探究菱形的条件 【例5】 已知：平行四边形的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； 若的长为，那么▱的周长是多少？ 解：∵ 四边形是菱形， ∴ ， ∴ ，即， 整理得， 解得. 当时，原方程为， 解得， ∴ 当时，四边形是菱形，菱形的边长是. 把代入原方程得， 把代入原方程得， 解得，， 即. ∴ ． 【变式训练】已知关于的一元二次方程. 求证：无论取何值，方程总有两个实数根； 若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根． ①若平行四边形是矩形，且时，求矩形的面积？ ②当取何值时？平行四边形是菱形，并求菱形边长？ 证明：∵ ， ， ∴ 无论取何值，方程总有两个实数根. 解：①当时，， 解得，， 即，的长分别为，， ∴ 矩形的面积； ②∵ 平行四边形是菱形， ∴ ， ∴ ，即，解得， ∴ 方程化为，解得， ∴ 菱形的边长为. 【类型六】利用根的判别式探究菱形的条件 【例6】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 求一次函数的表达式和点坐标； 若将直线向下平移个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求的值． 解：把代入，得：， 所以点坐标为， 把代入得，解得， 所以一次函数解析式为. 联立方程 消可得：， ，， 故点坐标为. (2) 将直线向下平移个单位长度得直线解析式为， 根据题意方程组只有一组解， 消去得， 整理得， ， 解得或， 即的值为或． 【变式训练】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴相交于点，且点，连接． 求一次函数和反比例函数的表达式； 求的面积； 请根据图象直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取