专题05 配方法的几种常见应用-2021-2022学年九年级数学上学期压轴题攻略（湘教版）

专题05 配方法的几种常见应用 【基础知识点】 1、在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.。 【类型一】配方法在解方程中的应用 【例1】用配方法解方程： 解：移项，得 化二次项系数为1，得-x= 配方，得-x+=+ 即（x-）²= 两边开平方，得x-=± 即x=± ∴ x1=1, x2= 【变式训练】用配方法解方程： 解：移项，得 配方，得，即， 两边开平方，得 ∴   【类型二】配方法在求二次三项式的最大（小）值中的应用 【例2】用配方法求代数式的最大值． 解：  ∴ 当时，代数式有最大值 【变式训练】 配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多其他问题．例如：求的最值. 解：， ， 有最大值为，此时． 当________时，代数式有最________值（填"大"或"小"）为________． 当________时，代数式有最________值（填"大"或"小"）为________． 如图，矩形花园的一边靠墙，围成另外三边的栅栏的总长度是，当垂直于墙的一边的长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 解：∵ ， ∴ 当时，的最小值为， 则当时，代数式取到最小值，为. 故答案为：；小；. ， 由此可知，当时，代数式有最大值. 故答案为：；大；. 设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为， ∴ 花园的面积为 ， 则当边长为米时，花园面积最大为． 【类型三】配方法在解特征方程中的应用 【例3】根据要求，解答下列问题： (1) ①方程＝的解为________； ②方程＝的解为________； ③方程＝的解为________； … (2) （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程＝的解为________； ②请用配方法解方程＝，以验证猜想结论的正确性． （3）应用：关于的方程________的解为＝，＝． 解：(1)①方程 的解为； ②方程 的解为； ③方程 的解为； 故答案为：＝，＝. (2)①方程 的解为； ②； 移项，得， 配方，得 即 开方，得 . (3)应用：关于的方程 的解为， 【变式训练】观察下列方程及其解的特征： （1）的解为＝＝； （2）的解为＝，； （3）的解为＝，； … 解答下列问题： （1）请猜想：方程的解为________________； （2）请猜想：关于的方程________________________的解为＝，； （3）下面以解方程为例，验证（1）中猜想结论的正确性． 解：＝，； （或）； 方程二次项系数化为， 得． 配方得， ，即， 开方得， ， 解得＝，． 经检验，＝，都是原方程的解． 【类型四】配方法在多个未知数的值中的应用 【例4】若，，表示的三边长，且＝，试判断的形状，并说明理由． 解：是等边三角形．理由如下： ∵ ＝， ∴ ＝， ∴ ＝， ∴ ＝，＝， ∴ ＝＝， ∴ 是等边三角形． 【变式训练】已知：等腰的三边长为整数，，，且满足＝，求等腰的周长． 解∵ ＝， ∴ ＝， ∴ ＝，＝， 解得＝，＝， ∵ ，且为整数， ∴ ＝、、， ∵ 是等腰三角形 ∴ ＝或 故的周长为：或． 【类型五】配方法在多个未知数的值中的应用 【例5】比较代数式：与的大小. 解： ＝ ＝ ＝， ∴ ； 【变式训练】比较代数式与的大小． 解：∵ ＝ 由于 ∴ 即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题05 配方法的几种常见应用 【基础知识点】 1、在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，在减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 2、用配方法解一元二次方程的步骤： （1）把方程化为一般形式ax2+bx+c=0； （2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边； （3）若方程的二次项系数不为1时，方程两边同时除以二次项系数a； （4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两