专题02 圆锥曲线技巧提升篇02——解析几何基本思路与核心条件的转化与翻译-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专项突破

专题02 解析几何基本思路与核心条件的转化与翻译 （一）解析几何基本思路 不管是大题还是是小题，题目必将给出较为核心的条件，解题的过程便是考查我们如何将其进 行合理的代数化翻译，建立其与目标信息之间的关系．在这个过程中，韦达就是月老，他手中的韦达定理便是红线，建立已知条件与目标间的纽带． 解析几何的解题思路，有如下大致框架： 围绕着主线的四大步骤，伴随着其他问题的产生，将这些问题一一解决，这便是解析几何的大 致过程．且看下例： 例 1 直线l与抛物线交于A、B两点，且满足，证明：直线l过定点． 分析 麻雀虽小，五脏俱全．本题题设简单，但需要分析与思考的点依然很全面．借助此例，我们仔 细谈谈解析几何该如何思考，思考什么，同时也对上述导图加以说明． 此题中，我们需要思考以下问题： 问题 1：显性核心条件和目标信息如何翻译？ 问题 2：是否存在隐性条件及关系？ 问题 3：目标信息“直线过定点”如何表达？ 问题 4：需引入哪些参数？ 问题 5：如何假设直线？ 问题 6：联立后是消x还是消y？ 问题 7：核心信息坐标化后如何韦达化？ 问题 8：坐标的代换用直线还是曲线？ 上述8个问题，是我们在解析几何中必须要思考和解决的基本且关键的问题，对其要有深刻的认识．所谓“谋定而后动，知止而有得”，只有在明确目标，谋划准确后再行动方为良策．而这些问题的解决彼此之间又是相互关联和影响的，因此需要综合考虑与分析．后续我们还会对以上问题作更加深入的分析与讲解． 通过上述问题的分析与解决，我们基本确定了此例题的解题框架： 解析 此题对于正设直线的解答，留给同学们自行练习． （二）核心条件的坐标化 题目核心条件的坐标化翻译，是解题的关键之一，下面将给出常见的案例： 设直线与曲线C相交于点点A、B不与原点O重合，点，将下列信息转化为关于的表达式： 1． 2． 3． 4． ．直线MA与直线MB的斜率之和为－1 ．锐角 7．为直角 8．为钝角 9．点M在以为直径的圆内 10．点在以为直径的圆上 11．点在以为直径的圆外 12． 13． 14．为直角 17．A、B、M三点共线 18．四边形为平行四边形 19．△ABM为等边三角形 20．△ABM是以M为顶点的等腰三角形 21．以M为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点 22．点M为△OAB的重心 通过上述案例可知，对于诸如垂直、平行、共线等问题，均可转化为向量形式，而对于角度问题，一方面可以先借助几何关系翻译，再用向量表达，另一方面，也可以借助三角函数转化为线段长度的表达，再借助相关定义进行坐标化． 核心条件的不同翻译，对后续参数的引入也将产生影响，而参数的不同意味着进一步的消参难度不同，这也是决定运算量的关键，因此合理的条件翻译至关重要． 1 / 3 原创原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $专题02 解析几何基本思路与核心条件的转化与翻译 （一）解析几何基本思路 不管是大题还是是小题，题目必将给出较为核心的条件，解题的过程便是考查我们如何将其进 行合理的代数化翻译，建立其与目标信息之间的关系．在这个过程中，韦达就是月老，他手中的韦达定理便是红线，建立已知条件与目标间的纽带． 解析几何的解题思路，有如下大致框架： 围绕着主线的四大步骤，伴随着其他问题的产生，将这些问题一一解决，这便是解析几何的大 致过程．且看下例： 例 1 直线l与抛物线交于A、B两点，且满足，证明：直线l过定点． 分析 麻雀虽小，五脏俱全．本题题设简单，但需要分析与思考的点依然很全面．借助此例，我们仔 细谈谈解析几何该如何思考，思考什么，同时也对上述导图加以说明． 此题中，我们需要思考以下问题： 问题 1：显性核心条件和目标信息如何翻译？ 问题 2：是否存在隐性条件及关系？ 问题 3：目标信息“直线过定点”如何表达？ 以上 3 个问题背后，又关联着其他的问题，以下将一一引出并作解答 对于问题1，即题目核心条件和目标信息的翻译．显然，题目中的核心条件为“”，几何上的垂直关系，在代数上，可以翻译为斜率乘积为-1，即 也可以从向量角度翻译为数量积为 0，即 这两者在代数式上的体现并无太大差异，但有一处需要引起重视，即如翻译成斜率形式，直线OA、OB斜率是否一定存在?当然，若是向量翻译，由题则两个向量均不为零向量． 对于问题2，直线和抛物线有两个交点，通常来说联立方程后要考虑判别式，令△＞0，这是隐性条件和关系中需要考虑的，也是一些范围最值问题的关键． 对于问题3，“直线过定点”一般是先得到相关直线的参数方程，通过消掉参数从而得出定点. 通过上述两种形式，我们便完成了几何信息的翻译，此处以数量积形式翻译为例，若要表达，则需要点A、B的坐标，因此便涉及到参数的引入问题：