第14讲 相似三角形的性质及应用-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第14讲 相似三角形的性质及应用 1、理解并熟练应用相似三角形的性质:周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方; (重点) 2.会利用相似三角形的性质来解决简单的问题。) 3.使学生掌握和综合运用三角形相似的判定条件和性质. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边成比例． (2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比． 【知识拓展1】相似三角形的性质 例1．（1）如图所示，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，AD＝9，OB＝5，DC＝12，∠A＝58°，求AB、OC的长和∠D的度数． 【答案】AB＝ ，OC＝ ，∠D＝58°． 【解析】解：∵OA＝2，AD＝9， ∴OD＝9﹣2＝7， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△DOC， ∴ ＝ ＝ ， ∵OA＝2，OB＝5，DC＝12， ∴ ＝ ＝ ， 解得OC＝ ，AB＝ ， ∵△AOB∽△DOC， ∴∠D＝∠A＝58°． （2）如图，已知AD＝4cm，BC：AC＝3：2，∠B＝36°，∠D＝117°，△ABC∽△DAC，求AB的长和∠BAD的度数． 【答案】AB＝6cm；∠BAD＝153° 【详解】 解：∵△ABC∽△DAC， ∴ ， ∵BC：AC＝3：2；AD＝4cm， ∴ ， ∴AB＝6cm； ∵△ABC∽△DAC， ∴∠DAC＝∠B＝36°，∠BAC＝∠D＝117°， ∴∠BAD＝∠DAC+∠BAC＝36°+117°＝153°． 【知识拓展2】相似三角形性质与判定的综合应用 例2．如图，在四边形 中，∠ ＝90°， ∥ ，对角线 ⊥ ． （1）求证：△ ∽△ ． （2）若 ＝2， ＝3，求△ 与△ 的面积比． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】（1）∵ ⊥ ， ∠ B ＝90°， ∴ ，即： ， 又∵ ∥ ， ∴ ， ∴△ ∽△ ； （2）∵△ ∽△ ， ∴相似比为 ， ∵相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴ ． 例3．如图， 中， 平分 ， 是 上一点， ． （1）求证： ． （2）已知 ， ，试求 的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】 （1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵CE=CD， ∴∠CED=∠CDE， ∵∠CDE=∠B+∠BAD，∠CED=∠ACE+∠CAD， ∴∠B=∠ACE， ∴△ABD∽△ACE； （2）解：∵△ABD∽△ACE， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵AD=14， ∴AE= ， ∴DE=14- = ． 【知识拓展3】相似三角形性质的实际应用 例4．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 来测量操场旗杆 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 与地面保持平行并使直角边 与旗杆顶点 在同一直线上，已知 米， 米，且测点 到地面的距离 米， ，到旗杆的水平距离 米，求旗杆 的高度． 【答案】 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， 米， ∴四边形CBGD是矩形， ∴ ， ∵∠ADC=∠ADC， ， ∴ ， ∴ ， ∵ 米， 米， 米， ∴ ， ∴ 米， ∴ ． 例5．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点 ，在近岸取点 和 ，使点 、 、 在一条直线上，且直线 与河垂直，在过点 且与直线 垂直的直线 上选择适当的点 ， 与过点 且与 垂直的直线 的交点为 ．如果 ， ， ，求 的长． 【答案】120m 【详解】解：由题意可知 ， ， ， 设 ， ∵ ， ， ， ∴ ， ，解得 ， 经检验x=120是方程的解 的长为 ． SHAPE \* MERGEFORMAT 1.如图， 和 中，AD和BE是 的高， 和 是 的高， 且 ， ．求证： 【难度】★★ 【解析】证明： ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 又 EMBED Equation.DSMT4 、 分别是 、 的高， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 2.．如图，D是 的边BC上的点， ，BE是 的角平分线，交AD于点F， ， ，求BF：BE． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】解： EMBED Equation.DSMT4 是 的角平分线， EMBED Equation.DSMT4 ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 3．如图，在 中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点