第13讲 相似多边形与三角形相似的条件-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（北师大版）

第13讲 相似多边形与三角形相似的条件 1.经历相似多边形概念的形成过程，了 解相似多边形的含义.在探索相似多边形边、角的关系中，进一步发展学生的观察、判断、 2.类比相似多边形的定义，能顺势掌握相似三角形的概念。 3.引导学生对概念的全面理解:性质与判定之间的关系。 4经历两个三角形相似条件的探索过程，增强发现问题，提出问题的意识;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题，发展应用意识归纳能力. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 相似多边形 （1）一般地,形状相同的图形称为相似图形. （2）对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 【知识拓展】例1．（1）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：B． （2）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似． 乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似； 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）． A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】C 【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似； 乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似． 所以甲对，乙不对， 故选：C． （3）如图，矩形 的长 ，宽 ．若矩形 的四周有宽为1的环形区域，则图中的两个矩形 与 相似吗？请说明理由． 【答案】不相似，见解析 【详解】 解：不相似．理由如下： 因为 ， 所以 ， 而 ， 所以矩形 与矩形 不相似． 知识点02 相似三角形的判定 (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A＝∠D，∠B＝∠E，则△ABC∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A＝∠D， ，则△ABC∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若 ，则△ABC∽△DEF. 【知识拓展1】例2．（1）如图，四边形 的两条不等长对角线 ， 相交于点 ，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若 ，则（ ） A．甲、丙相似，乙、丁相似 B．甲、丙相似，乙、丁不相似 C．甲、丙不相似，乙、丁相似 D．甲、丙不相似，乙、丁不相似 【答案】B 【详解】在 和 中， ，又 ，∴ ，即甲丙相似；无法证明 ，即乙丁不相似． 故选：B． （2）如图，点D，E分别在 的 边上，增加下列哪些条件不能使 与 相似（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，∠A=∠A， A、当∠ADE=∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意； B、当 时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意； C、当 时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意． D、当∠ADE=∠C时，△ADE∽△ACB；故本选项不符合题意； 故选：B． （3） 中，P为 上的一点．下列四个条件：① ：② ：③ ；④ 等，其中能判断 的有（ ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：① ， ，可证 ，故①符合题意； ② ， ，可证 ，故②符合题意； ③ ， ，可证 ，故③符合题意； ④ ， ，不能证明 ，故④不符合题意； 故选：D． 【知识拓展2】例3．（1）如图，在 中，四边形 是平行四边形．求证： ． 【详解】解：证明：∵四边形DBFE是平行四边形， ∴DE∥BC，EF∥AB， ∴∠CEF=∠A，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△EFC． （2）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD•AB，求证：△ACD∽△ABC． 【详解】证明：∵AC2＝AD⋅AB， ∴AC：AB＝AD：AC． 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC． SHAPE \* MERGEFORMAT 1．已知四边形 和四边形 是相似的图形，并且点 与点 、点 与点 、点 与点 、点 与点 分别是对应顶点，已知 ， ， ， ， ， ， ，求 ， 的长和 的度数． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对