5.1.4 用样本估计总体-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教B版）

5.1.4　用样本估计总体 1．能用样本的数字特征估计总体的数字特征，发展数学运算核心素养． 2．会用样本的分布估计总体的分布，体会统计的基本思想，提升数据分析核心素养． 　用样本的数字特征估计总体的数学特征 某学校高一年级，只知道甲班和乙班的数学平均成绩为乙＝80；甲班人数为50人，乙班人数为40人，而缺少每名学生的成绩，如何计算甲、乙这两个班的数学平均成绩？ 甲＝70， 提示：甲、乙这两个班的平均成绩乙≈74.4(分)． 甲＋乙＝·甲＋·＝＝ 　我们以分两层抽样的情况为例．假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为t2.则 ，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为 )2， (xi－i，s2＝＝ )2. (yi－i，t2＝＝ 如果记样本均值为，样本方差为b2，则 ， ＝ b2＝. × 　用样本的分布估计总体的分布 2019年学期末，某学校对100间学生公寓进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四种等级，其中分数在[60,70)为D等级，有15间；分数在[70,80)为C等级，有40间；分数在[80,90)为B等级，有20间；分数在[90,100]为A等级，有25间．考核评估后，得其频率分布直方图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分的中位数是多少？ 提示：根据题意，由直方图可知，在[60,70)内的频率为0.15，在[70,80)内的频率为0.40，其和为0.55，故可知中位数在70～80之间，设为x，则可知(x－70)×0.040＝0.35，解得x＝78.75，可知满足题意的中位数即为78.75. 用频率分布直方图估计总体分布．根据样本数据绘制出的频率分布直方图具有直观的特点，可以直接判断出样本中数据的分布特点和变化趋势与规律，并由此对总体进行估计． 　　　　 1．在一组数据：7,8,2,9,13,6,11中抽去一个，新的一组数据的平均数与原数据的平均数相同，则被抽去的数是(　　) A．7　　　 B．2　　　　 C．8　　　 D．11 解析：抽去一个数后平均数没有变，说明被抽去的数应与平均数相等，从而有＝8. 所以，被抽去的数是8. 答案：C 2．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(　　) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. D． B．3 C. 解析：因为. ＝，则这100人成绩的标准差为[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝＝3，方差＝＝ 答案：C 3．在某中学校园歌手大赛比赛现场七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　) A．85和6.8 B．85和1.6 C．86和6.8 D．86和1.6 解析：剩余的数据为83,83,84,85,90，平均分[(83－85)2＋(83－85)2＋(84－85)2＋(90－85)2]＝6.8. ＝85，所以方差为s2＝＝ 答案：A 4．若用样本数据1,0，－1,2,1,3来估计总体的标准差，则总体的标准差估计值是________． 解析：样本平均值为＝1， ＝ 样本方差为s2＝. [(1－1)2＋(0－1)2＋(－1－1)2＋(2－1)2＋(1－1)2＋(3－1)2]＝ 所以样本标准差为. ，则总体的标准差估计值是 答案： 　用样本的数字特征估计总体的 数字特征(重点探究) 　(课本例1拓展)甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图． (1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价． 【审题指导】　→ → 【素养立意】　本题考查利用样本的平均数、方差估计总体，突出考查数据分析、数学运算核心素养． 【尝试解答】　(1)由图像可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为： 甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分． ＝13， 甲＝ ＝13， 乙＝ s[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， ＝ s[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. ＝ (2)由s可知乙的成绩较稳定． ＞s 从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高． 　平均数与标准差在估计总体时的差异 (1)平均数提供了样本数据的重要信息，但是平均数有时也会使人作出对总体的片面判断，样本中的最大值和最小值对平均数的影响较大，所以平均数有时难以概括样本数据的实际状态． (2