5.2.1 基本初等函数的导数-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

5．2　导数的运算 5．2.1　基本初等函数的导数 幂函数y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x3的导函数有没有固定模型或计算公式？ 1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．，y＝ 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 3．培养逻辑推理、数学运算的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝x3 f′(x)＝3x2 f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 2.基本初等函数的导数公式 ①若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝0； ②若f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)，则f′(x)＝αxα－1； ③若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； ④若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x； ⑤若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝axln a； 特别地，若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex； ⑥若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则f′(x)＝； 特别地，若f(x)＝ln x，则f′(x)＝. [独立思考] 1．总结出幂函数y＝xα的导数． 提示：y′＝α·xα－1. 2.，这种计算对吗？＝′＝cos 提示：不对，sin′＝0.是一个常数，所以＝ 　利用导数公式求函数的导数 [小组探究] 函数y＝x的导数可按幂函数导数公式求吗？ [互动探究] 例1►　求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝；；(3)y＝ (4)y＝2sinx；(6)y＝3x. ；(5)＝logcos 【解】　(1)y′＝(x12)′＝12x12－1＝12x11. (2)y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－. (3)y′＝(.＝x－－1＝x)′＝)′＝(x (4)∵y＝2sin＝sin x， cos ∴y′＝cos x. (5)y′＝(log.＝－x)′＝ (6)y′＝(3x)′＝3xln 3. eq \a\vs4\al() 1．若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导． 2．若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导． [合作交流] 1．求下列函数的导数： (1)y＝(1－；＋) (2)y＝2cos2－1. 解：(1)∵y＝(1－＋)· ＝， ＝x－＝＋ ∴y′＝－.x－ (2)∵y＝2cos2－1＝cos x， ∴y′＝(cos x)′＝－sin x. 　利用导数公式求曲线的切线方程 [小组探究] 写出函数y＝ln x在点(1，0)处的切线方程． [互动探究] 角度1　求切线方程 例2►　求过曲线y＝sin x上点P且与在这点处的切线垂直的直线方程． 【解】　∵y＝sin x，∴y′＝cos x，曲线在点P.＝＝cos处的切线斜率是：y′ ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－)， (x－＝－，故所求的直线方程为y－ 即2x＋＝0.－y－ 角度2　切线方程的应用 例3►　设P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离． 【解】　如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，则切点到直线y＝x的距离最小． 设与直线y＝x平行的直线l与曲线y＝ex相切于点P(x0，y0)． 因为y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0. 代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0，1)． 所以点P到直线y＝x的最小距离为. ＝ eq \a\vs4\al() 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． [合作交流] 2．求曲线y＝cos x在点A处的切线方程． 解：∵y＝cos x， ∴y′＝－sin x，y′.＝－＝－sin ∴曲线在点A处的切线方程为y－， ＝－ 即6x＋12y－6－π＝0. 3．函数y＝ex与直线y＝x＋1相切吗？如果相切，切于什么位置？ 解：假设y＝x＋1是y＝ex在P(x0，y0)处的切线， 则f′(x0)＝1. ∵y＝ex，∴y′＝ex，∴f′(x0)＝ex0＝1，∴x0＝0. 而(0，1)在y＝ex上，也在y＝x＋1上，故(0，1)为切点. [问题评价] 导数公式应用出错 例　求函数f(x)＝lg x的导数． 【解】　∵f(x)＝lg x＝log10x， ∴f′(x)＝. 【易错分析】　 不理解f(x)＝logax导数的计算模型，盲目仿照(ln x)