5.1.1 变化率问题-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

5．1　导数的概念及其意义 5．1.1　变化率问题 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)＝－4.9 t2＋4.8 t＋11.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 1．利用实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，了解二者之间的联系． 2．了解抛物线切线的斜率与割线的斜率的关系，体会变化率的意义． 3．培养数学抽象、直观想象的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．瞬时速度 ①我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． ②若物体运动的路程与时间的关系式是s＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度． ③瞬时变化率计算：． _ 2．曲线的切线 在函数y＝f(x)上取点P0(t0，f(t0))，P(x，y)． 当P无限接近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为y＝f(x)在P0(t0，f(t0))处的切线，切线的斜率k＝． 3．函数的变化率 定义 实例 平均变化率 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为， 简记作： ①平均速度； ②曲线割线的斜率 瞬时变化率 函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 ＝_ ①瞬时速度：物体在某一时刻的速度； ②切线斜率 [独立思考] 1．设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y＝f(x)上任意不同的两点，则函数y＝f(x)的平均变化率表示什么？＝＝ 提示：表示割线AB的斜率． 2．Δx，Δy的值一定是正值吗？平均变化率是否一定为正值？ 提示：Δx，Δy可正可负，Δy也可以为零，但Δx不能为0，平均变化率可正、可负、可为零． 3．平均变化率与瞬时变化率有什么区别和联系？ 提示：①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢； ②联系：当Δx趋于0时，平均变化率趋于一个常数，这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率，它是一个固定值. 　求函数的平均变化率、瞬时变化率 [小组探究] 若函数f(x)＝x＋1，在区间(x0，x0＋1)上的平均变化率是多少？在x0处的瞬时变化率是多少？ [互动探究] 例1►　已知函数f(x)＝3x2＋5，求f(x)： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率； (3)求f(x)在x＝0.1处的瞬时变化率． 【解】　(1)因为f(x)＝3x2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 ＝0.9. (2)f(x0＋Δx)－f(x0) ＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x＋5) ＝3x－5＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x ＝6x0Δx＋3(Δx)2. 函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝6x0＋3Δx. (3)由(2)可知，f(x)在[0.1，0.1＋Δx]上的平均变化率为(6×0.1＋3Δx)， ∴f(x)在x＝0.1处的瞬时变化率为 (0.6＋3Δx)＝0.6. eq \a\vs4\al() 1．求函数平均变化率的步骤： 第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； 第三步，求平均变化率.＝ 2．求平均变化率的一个关注点： 求点x0附近的平均变化率，可用的形式． 3．求x0处的瞬时变化率，可用的形式． [合作交流] 1．已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01； (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3(Δx)， ∴＝－4.9(Δx)－3.3. ①当Δx＝2时，＝－4.9×2－3.3＝－13.1； ②当Δx＝1时，＝－4.9×1－3.3＝－8.2； ③当Δx＝0.1时，＝－4.9×0.1－3.3＝－3.79； ④当Δx＝0.01时，＝－4.9×0.01－3.3＝－3.349. (2)当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1，1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 　物体运动的平均速度、瞬时速度 [小组探究] 若一质点P在时间段[t1，t2]内以v0速度作匀速直线运动，其间的平均速度是多少？在[t1，t2]的某个时间点上的瞬时速度是多少？ [互动探究] 例2►　若一物体的运动方程为s