4.4 数学归纳法-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

4．4*　数学归纳法 多米诺骨牌游戏：将很多骨牌码放在一起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下．这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；…….总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下． 在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 1．通过具体问题，了解数学归纳法的推理步骤及作用． 2．了解由特殊到一般的归纳思维过程． 3．培养逻辑推理的学科素养．　 数学归纳法的定义与步骤： 1．一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1)P(n0)为真；(2)若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． [独立思考] 1．数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系？ 提示：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题： 若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 完成这两步，就有P(n0)真，P(n0＋1)真，……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． 2．数学归纳法的第一步：n0＝1吗？ 提示：n0只是命题成立的起始自然数，不一定为1. 　用数学归纳法证明等式 [小组探究] 用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n＝(n∈N*)．起始自然数n0为多少？ [互动探究] 例1►　已知函数f(n)＝－1＋3－5＋…＋(－1)n·(2n－1)(n∈N*)，用数学归纳法证明：f(n)＝(－1)n·n. 【证明】　(ⅰ)当n＝1时，f(1)＝－1成立． (ⅱ)假设当n＝k∈N*时成立，即f(k)＝(－1)k·k. 则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k·k＋(－1)k＋1·(2k＋1)＝(－1)k＋1·(2k＋1－k)＝(－1)k＋1·(k＋1)． ∴当n＝k＋1时也成立． 综上可得，对于任意n∈N*，f(n)＝(－1)n·n. eq \a\vs4\al() 用数学归纳法证明等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． (3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法． [合作交流] 1．用数学归纳法证明：1－. ＋…＋＋＝－＋…＋－＋ 证明：①当n＝1时，左边＝1－，等式成立．，右边＝＝ ②假设当n＝k时(k≥2，k∈N*)等式成立，即 1－， ＋…＋＋＝－＋…＋－＋ 那么当n＝k＋1时，左边＝1－＝右边．＋＋＋…＋＋＝－＋＋＋…＋＝－＋＋…＋＋＝－＋－＋…＋－＋ 故当n＝k＋1时，命题成立． 综上，命题对一切n∈N*都成立. 　用数学归纳法证明不等关系 [小组探究] 对任意正整数n，2n与n2的大小关系如何？ [互动探究] 例2►　已知f(n)＝1＋，n∈N*. －，g(n)＝＋…＋＋＋ (1)当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明． 【解】　(1)当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)； 当n＝2时，f(2)＝， ，g(2)＝ 所以f(2)<g(2)； 当n＝3时，f(3)＝， ，g(3)＝ 所以f(3)<g(3)． (2)由(1)，猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明： ①当n＝1，2，3时，不等式显然成立． ②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立， 即1＋， －<＋…＋＋ 那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)＝f(k)＋， ＋－< 因为<0， ＝－＝－ 所以f(k＋1)<＝g(k＋1)．－ 由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立． eq \a\vs4\al() 1．当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． 2．证明的关键是：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化． [合作交流] 2．已知正