4.3.2 第一课时 求等比数列前n项和-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

4．3.2　等比数列的前n项和公式 第一课时　求等比数列前n项和 某人听到一则消息，用一小时传给两人，这两人用一小时每人又分别传给两人，如此传下去，一昼夜后这则消息能传遍一个千万人口的大城市吗？ 1．理解等比数列前n项和公式的推导过程． 2．掌握等比数列前n项和的公式，会用前n项和公式解决等比数列问题． 3．培养学生数学运算、逻辑推理的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比和项数 首项、末项和公比 公式 Sn＝ Sn＝ [独立思考] 数列{an}的通项公式为an＝an，其前n项和如何求？ 提示：当a＝1时，Sn＝na； 当a≠1时，Sn＝. 　等比数列的前n项和公式的基本运算 [小组探究] 数列an＝(－1)n是等比数列吗？其前n项和是多少？ [互动探究] 例1►　在等比数列{an}中， (1)若a1＝1，a5＝16，且q>0，求S7； (2)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n； (3)若a3＝，求a1和公比q. ，S3＝ 【解】　(1)因{an}为等比数列且a1＝1，a5＝16， ∴a5＝a1q4， ∴16＝q4， ∴q＝2(q＝－2舍)， ∴S7＝＝127.＝ (2)法一　由Sn＝，an＝a1qn－1 以及已知条件得 ∴a1·2n＝192，∴2n＝. ∴189＝a1(2n－1)＝a1， ∴a1＝3. 又∵2n－1＝＝32， ∴n＝6. 法二　由公式Sn＝及条件得 189＝，解得a1＝3，又由an＝a1·qn－1， 得96＝3·2n－1，解得n＝6. (3)①当q≠1时，S3＝， ＝ 又a3＝a1·q2＝， ∴a1(1＋q＋q2)＝， 即， (1＋q＋q2)＝ 解得q＝－(q＝1舍去)， ∴a1＝6. ②当q＝1时，S3＝3a1， ∴a1＝. 综上得或 eq \a\vs4\al() Sn＝.另外在这两个公式中强调公比q≠1，若公比q＝1，则数列为非零常数列．因此在进行等比数列的前n项求和计算时需要对公比q是否为1进行讨论．分类讨论思想是这一章中的一个重要思想，也是高考的重要考点．；当已知首项a1、末项an及公比q时，用公式Sn＝(q≠1)为等比数列的求和公式，其中涉及a1，an，Sn，n，q五个量，通常已知其中三个，即可求另外两个，方法是解方程组，这也是等比数列的基本问题．当已知首项a1、公比q及项数n时，用公式Sn＝＝ [合作交流] 1．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项的和为Sn，已知S3＝，则a8＝________．，S6＝ 解析：当q＝1时，显然不符合题意； 当q≠1时，解得 即a8＝×27＝32. 答案：32 2．求和：Sn＝1＋a＋a2＋…＋an－1. 解：①当a＝0时，数列1，a，a2，…，an－1不是等比数列，Sn＝1. ②当a＝1时，Sn＝na1，即Sn＝n. ③当a≠0且a≠1时，Sn＝. 若令a＝0，可得Sn＝1，满足关系式Sn＝. 故Sn＝ 　等比数列求和的实际应用 [小组探究] 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125 m吗？ [互动探究] 例2►　从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少.设n年内(本年度为第1年)总投入为Sn万元，旅游业总收入为Tn万元，写出Sn、Tn的表达式．，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后旅游业收入每年会比上年增加 【解】　第1年投入为800万元， 第2年投入为800×万元， …… 第n年投入为800×万元， 所以n年内的总投入为 Sn＝800＋800×＋…＋800× ＝800 ＝4 000×. 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×万元， …… 第n年旅游业收入为400×万元． 所以n年内的旅游业总收入为 Tn＝400＋400×＋…＋400× ＝400 ＝1 600×(万元)． eq \a\vs4\al() 1．解等比数列模型的求和应用题的常用方法 (1)直接运用公式求和； (2)由特例入手，归纳总结一般情况，进而建立等比 数列求和的模型，再求其和； (3)寻找递推公式，把它转化为递推数列问题． 2．日常生活中的增长率、利润、利息、浓度匹配、养老 保险等问题都与等比数列及其求和知识有关． [合作交流] 3．某商场2019年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2019年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(lg 1.6≈0.2，lg 1.1≈0.04)? 解：根据题意，每