5.3.2 第一课时 函数的极值-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第二册同步核心辅导与测评教师用书（人教A版）

5．3.2　函数的极值与最大(小)值 第一课时　函数的极值 2020年五·一之后，随着疫情的减弱，某图书馆一周内接待读者的人数变化如下图． 那么第2天、3天、4天、5天、6天相对于前后天的人数有什么变化？ 1．通过具体函数，了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数极值与导数的关系． 2．掌握函数极值的判定及求法． 3．培养直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附 近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的 左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． [独立思考] 1．f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，对吗？ 提示：对．如：f(x)＝x3在x＝0处有f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不单调，为什么？ 提示：因为y＝f(x)在(a，b)内有极值，一定存在x0∈(a，b)，使f′(x0)＝0，且在x0左右区间上导函数异号，即f(x)的单调性相反，也就是说x0是y＝f(x)的极值点⇒x0是y＝f′(x)的零点，反之未必成立. 　极值与极值点的判断与求解 [小组探究] 对于f(x)＝x2，g(x)＝－x2，当x＝0时是极大值点还是极小值点？ [互动探究] 角度1　利用图象判断函数的极值 例1►　已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　) A．在(－∞，0)上为减函数 B．在x＝0处取极小值 C．在(4，＋∞)上为减函数 D．在x＝2处取极大值 【解析】　由导函数的图象可知：当x∈(－∞，0)∪(2，4)时，f′(x)>0，当x∈(0，2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－∞，0)，(2，4)上为增函数，在(0，2)，(4，＋∞)上为减函数，所以在x＝0处取得极大值，在x＝2处取得极小值，在x＝4处取得极大值，故选C. 【答案】　C eq \a\vs4\al() 通过导函数值的正负号确定函数单调性，然后进一步明确导函数图象与x轴交点的横坐标是极大值点还是极小值点． [合作交流] 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 解析：f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点． 答案：C 角度2　求函数的极值 例2►　求下列函数的极值： (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1； (2)f(x)＝x2－2ln x. 【解】　(1)函数f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1的定义域为R， f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x＋2)(x－1)， 解方程6(x＋2)(x－1)＝0，得x1＝－2，x2＝1. 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值 21  极小值 －6  所以当x＝－2时，f(x)取极大值21； 当x＝1时，f(x)取极小值－6. (2)函数f(x)＝x2－2ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2x－， ＝ 解方程＝0， 得x1＝1，x2＝－1(舍去)． 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： x (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值1  因此当x＝1时，f(x)有极小值1，无极大值． eq \a\vs4\al() 求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，